重積分問題解説
- 重積分を使って物体の質量と重心を求めることができます。
- 半径Rの一様な密度を持つ半球の重心を求める方法と、底面の半径R、高さhの一様な密度を持つ円錐の重心の求め方について解説します。
- 重積分の計算式や途中式も説明します。
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重積分
重積分について、問題を解いてください。 形状D物体の密度がρ(x,y,z)で与えられているとき、その物体の質量Mと重心(x_g,y_g,z_g)は M=∮∮∮D ρ(x,y,z)dxdydz (x_g,y_g,z_g)=(1/M)(∮∮∮D xρ( x,y,z)dxdydz,∮∮∮D yρ(x,y,z)dxdydz,∮∮∮D zρ(x,y,z)dxdydz) で求めることができる。このことをふまえて、以下の問いに答えよ 1.半径Rの一様な密度を持つ半球の重心を求めよ。ただし、原点を中心とする球のうち、z≧0の部分のを考えること。 2.底面の半径R、高さhの一様な密度を持つ円錐の重心を求めよ。ただし、図のように円錐の頂点を原点にとると、図のようにz軸からの距離r=√(x^2+y^2)とzが、r=Rz/hの関係になることを利用すること。 途中式もお願いします。
- eievie
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No.2です。 つづいて 2 ρ(x,y,z)=ρ(定数) 対称性から重心G(0,0,z_g) D={(x,y,z)|0≦(h/R)√(x^2+y^2)≦z≦R} M=∫∫∫[D] ρdxdydz=ρ∫∫∫[D] dxdydz=(1/3)ρhπR^2 z_g=(1/M)∫∫∫[D] zρdxdydz =(ρ/M)∫∫∫[D] zdxdydz 円柱座標x=rcosθ,y=rsinθ,z=zに変数変換して置換積分 対称性から E={(r,θ,z)|0≦r≦zR/h≦R,0≦θ≦π/2,0≦z≦h}として zdxdydz=z rdrdθdz z_g=4(ρ/M)∫[0,π/2] dθ∫[0,h] zdz∫[0,zR/h] rdr =2(ρπ/M)∫[0,h] (1/2)(Rz/h)^2 zdz =(ρπ/M)(R/h)^2*[z^4/4][0,h] =(ρπ/((1/3)ρhπR^2))(R/h)^2*(h^4/4) =(3/4)h (答) (0,0,3h/4)
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- info222_
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「∮」は周回積分(閉路積分)や複素積分の閉路積分の特殊な積分のみに使用する積分記号です。普通の積分(定積分)の本問では使ってはダメです。普通の積分記号「∫」を使ってください。 まず 1だけ ρ(x,y,z)=ρ(定数) D={(x,y,z)|x^2+y^2+z^2≦R^2, z≧0} M=∫∫∫[D] ρdxdydz=ρ∫∫∫[D] dxdydz=(2/3)πρR^3 立体の対称性から 重心G(x_g,y_g,z_g)=G(0,0,z_g) z_g=(1/M)∫∫∫[D] zρdxdydz=(ρ/M)∫∫∫[D] zdxdydz x=rsinθcosφ, y=rsinθsinφ, z=rcosθとおいて置換積分する。 D ⇒ E={(r,θ,φ)|0≦r≦R, 0≦θ≦π/2, -π≦φ≦π} ヤコビアン|J|=r^2*sinθ zdxdydz=rcosθ|J|drdθdφ=r^3 dr cosθsinθdθdφ であるから z_g=(3/(2πR^3))∫∫∫[E] r^3 dr cosθsinθdθdφ =(3/(2πR^3))∫[0,R] r^3 dr ∫[0,π/2] (1/2)sin(2θ)dθ∫[-π,π] dφ =(3/(2πR^3))(R^4/4)*(1/2)([-(1/2)cos(2θ)][0,π/2])* (2π) =(3/8)R (答) (x_g,y_g,z_g)=(0,0,3R/8)
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