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重積分
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ごめんなさい。 ヤコビアン間違っていますね。 (r^2)sinθdrdθdφ ですね。 あと、θは0≦θ≦πです。これなら積分しても0になりませんね。
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- rnakamra
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D={(x,y,z)∈R^3|x+y≧0},∫∫∫_D (1/(x^2+y^2+z^2)^2)dxdydzですね。 この式であるとして問題をときます。 I=∫∫∫_D (1/(x^2+y^2+z^2)^2)dxdydzと置く。 u=-x,v=-yと置くと与えられる積分は I=∫∫∫_D'(1/(u^2+v^2+z^2)^2)dudvdz D'={(u,v,z)∈R^3|u+v≦0} となります。(ヤコビアンが"1"であることは簡単にわかると思います。) u,vは単なる積分変数ですのでこれをx,yに置き換えると I=∫∫∫_D'' (1/(x^2+y^2+z^2)^2)dxdydz D''={(x,y,z)∈R^3|x+y≦0} となります。 よく見ると、DとD''が平面x+y=0をはさんだ両側をあらわすこと、この両方を足すと全空間を表すことが判ります。 よって 2I=I+I =∫∫∫_D (1/(x^2+y^2+z^2)^2)dxdydz +∫∫∫_D'' (1/(x^2+y^2+z^2)^2)dxdydz =∫∫∫_(全空間) (1/(x^2+y^2+z^2)^2)dxdydz となります。つまりI=(1/2)∫∫∫_(全空間) (1/(x^2+y^2+z^2)^2)dxdydz この積分は、x,y,zから極座標r,θ,φに座標を変えます。 x=rcosθcosφ,y=rcosθsinφ,z=rsinφとして変数変換します。 (1/(x^2+y^2+z^2)^2)=1/r^4,dxdydz=(r^2)cosθdrdθdφ 範囲はr:0→∞,θ:0→π,φ:0→2πになります。 (確認してください。間違っているかも知れません。)
補足
すいません;; 式が∫∫∫_D (1/(1+x^2+y^2+z^2)^2)dxdydzでした…。 これを極座標変換して,はさみ打ちしようとしたのですが, ∫∫∫_D (1/(1+x^2+y^2+z^2)^2)dxdydz =∫∫∫_D' (r^2)cosθ/(1+r^2)drdθdφ (D'={r,θ,φ∈R^3|r>0,0≦θ≦2π,-π/4≦φ≦3/4π}) でcosθの部分が0になってしまって…。 こちらで解説していただけないでしょうか??
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