空間ベクトル

質問

この問題を解く手順を教えてください。
質問者は高2です。

ｘｙｚ空間上の２点Ａ（－３，－１，１），Ｂ（－１，０，０）をとおる直線lに点Ｃ（２,3,3)からおろした垂線の足Ｈの座標を求めよ。

回答No.3

ferien

＞ｘｙｚ空間上の２点Ａ（－３，－１，１），Ｂ（－１，０，０）をとおる直線lに点Ｃ（２,3,3)から
＞おろした垂線の足Ｈの座標を求めよ。
２点Ａ，Ｂを通る直線の式は、
（ｘ＋３）／（－１＋３）＝（ｙ＋１）／（０＋１）＝（ｚ－１）／（０－１）より、
（ｘ＋３）／２＝（ｙ＋１）／１＝（ｚ－１）／－１だから、
直線の方向ベクトルａ＝（２，１，－１）
垂線の足Ｈを（ｘ，ｙ，ｚ）とすると、
（ｘ＋３）／２＝（ｙ＋１）／１＝（ｚ－１）／－１＝ｔとおくと、Ｈは直線ＡＢ上の点だから、
Ｈの座標は、ｘ＝２ｔ－３，ｙ＝ｔ－１，ｚ＝－ｔ＋１　……（１）とおける。
ベクトルＣＨ＝（ｘ－２，ｙ－３，ｚ－３）
＝（２ｔ－３－２，ｔ－１－３，－ｔ＋１－３＝
＝（２ｔ－５，ｔ－４，－ｔ－２）
方向ベクトルａとベクトルＣＨは垂直だから、
ａ・ＣＨ＝２・（２ｔ－５）＋１・（ｔ－４）－１・（－ｔ－２）
＝４ｔ－１０－ｔ＋４＋ｔ＋２＝０から、
６ｔ＝１２より、ｔ＝２　（１）へ代入して、
ｘ＝２・２－３＝１，ｙ＝２－１＝１，ｚ＝－２＋１＝－１
よって、Ｈの座標（１，１，－１）

でどうでしょうか？計算を確かめてください。

回答No.2

htms42

この問題は３次元ですね。
もし、２次元での問題であれば解くことは出来ますか。

ベクトルで考えると２次元でも、３次元でも同じ表現になります。
原点をＯとすると、点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｈを表すベクトルはＯＡ，ＯＢ，ＯＣ，ＯＨです。

２次元であれば図を書いてイメージが取れますね。それがそのまま３次元でも当てはまります。
成分に戻すと２次元と３次元の違いが出てきます。従って成分に戻すのは出来るだけ後にします。ベクトルとしての関係式を出来るだけ簡単になるように整理してからです。

直線（＝線分の延長）は別の変数（パラメータともいいます）を持ち込んで表します。
ＡＨ＝ｔＡＢ　　（１）

垂直の関係は　「内積＝０」　を使います。
ＡＨ・ＣＨ＝０　　（２）

ここの２つの式がｔを決める条件です。
ｔ≠０ですから（１）、（２）から次の式が出てきます。
ＡＢ・ＣＨ＝０　　（３）

ベクトルの関係を使ってＨを消去します。
未知数のｔと点Ａ、Ｂ、Ｃだけが出てくるようにします。

これが解いて行く方針です。
この方針は２次元、３次元に共通です。

解いてみます。
ＣＨ＝ＣＡ＋ＡＨ
　　＝ＣＡ＋ｔＡＢ

これでＨは消えました。ｔだけが残っています。

ＡＢ・（ＣＡ＋ｔＡＢ）＝０
ＡＢ・ＣＡ＋ｔＡＢ・ＡＢ＝０
ｔＡＢ・ＡＢ＝ＡＢ・ＡＣ
（これが求める関係式です。表現は２次元でも、３次元でも同じです。）

ここで成分を考えます。
ＡＢ＝ＯＢ－ＯＡ＝（－１，０，０）－（－３，－１，１）＝（２，１，－１）
ＡＣ＝ＯＣ－ＯＡ＝（２，３，３）－（－３、－１，１）＝（５，４，２）

ＡＢ・ＡＢ＝４＋１＋１＝６
ＡＢ・ＡＣ＝１０＋４－２＝１２

６ｔ＝１２
ｔ＝２

ＡＨ＝２ＡＢ＝（４，２，－２）
ＯＨ＝ＯＡ＋ＡＨ＝（－３、－１，１）＋（４，２、－２）＝（１，１、－１）

回答No.1

ereserve67

HはAB上だから

OH=(1-t)OA+tOB=(-3+3t,-1+t,1-t)+(-t,0,0)=(-3+2t,-1+t,1-t)

とおける．よって，

CH=(-5+2t,-4+t,-2-t)

AB=(2,1,-1)であるから，CH⊥ABより

CH・AB=-10+4t-4+t+2+t=6t-12=6(t-2)=0,t=2

OH=(1,1,-1)∴H(1,1,-1)