2平面の交線

質問

2平面α,βの交線を表す方程式を求めたいと思います。
α： 2x+y-3z=4
β： x-y+z=5

　私は、交線上のあるx座標をx=aとおいて、上式を連立させて、
(x,y,z)=（a, (5a-19)/2, (3a-9)/2）
としてみましたが、これ以降どのようにしたらよいか分かりません。解き方をご存知の方は、お手数ですが教えてください。よろしくお願いします。

回答No.3

noname#24477 · ベストアンサー

直線の式をどう表したいのですか？

１つは
(x-a)/l＝(y-b)/m＝(z-c)/n
の形です。いわゆる比例式です。考えようによっては
平面の式を二つ組み合わせただけとも読めます。
（ｌ，ｍ，ｎ）は方向ベクトルといわれます。

連立方程式と考えて
ｘ＝（ｙの式）＝（ｚの式）
の形にすればいいです。
ｙやｚについて解くのもいいでしょう。
答は何通りでも書けます。

もう１つは媒介変数（例えばｔ）を使って
（ｘ，ｙ，ｚ）＝ｔ（ｌ，ｍ，ｎ）＋（ａ，ｂ，ｃ）
の形で表す方法です。（媒介変数表示。）
（ｌ，ｍ，ｎ）は方向ベクトル。（ａ，ｂ，ｃ）は
直線上の定点。
これはｘ＝ｔｌ＋ａ，ｙ＝ｔｍ＋ｂ，ｚ＝ｔｎ＋ｃ
と書いても同じこと。比例式を＝ｔとおけばなりますね。

でご質問の場合はａを媒介変数と思えばほとんど答に
なっているし、

ａ＝の形にすれば比例式にもすぐなります。

他には適当な数を代入して定点を２つ求めて
２点を引き算したら方向ベクトルが求まるので
それを利用するというやり方でもいいです。

お礼

ご回答ありがとうございます。
　空間での直線の表し方をかなり以前に習っていたはずなんですが、完全に忘れていました。自分自身を恥じるばかりです。

回答No.2

sakura_214

やり方はいくつかあると思います．

aを媒介変数（パラメータ）だと思って，そのまま右辺をaが含む項と定数項に分けて
(x,y,z)=(a,(5a-19)/2,(3a-9)/2)=(1,5/2,3/2)a+(0,-19/2,-9/2)
とやる方法もありますし，

または，上の式または直接連立させた答えを，x,y,zについてa=と変形して
x=(2y+19)/5=(2z+9)/3 (=a)
とする方法もあります．

お礼

ご回答ありがとうございます。
　空間での直線の式の表し方を知りませんでした。高校の時の参考書を見たらちゃんと載っていました。忘れていただけかもしれませんが、恥ずかしい限りです。

回答No.1

nabla

空間での直線のあらわし方は知っていますか？

この場合を例にとると
x＝(2y+19)/5＝(2z+9)/3
というようなあらわし方をします。

お礼

ご回答ありがとうございます。
　恥ずかしながら、空間での直線の表し方を知りませんでした。2平面の方程式を連立させれば、直線の式になるのですね。