大学１年レベルの線形代数の質問です

質問

私の持っている教科書には

『複素線形空間、実線形空間、我々はこの両方を必要とする。線形空間の一般論は「複素」「実」の両方について、まったく平行に進む。』

と書いてあり、これ以降の議論をすべてＫ上の線形空間に関して行っているのですが（※ＫとはＣ（複素数全体）またはＲ（実数全体）を指します）

R^n⊂C^nなのだから、複素線形空間に関して、つまりＣ上の線形空間に関して議論を進めれば、その過程で得られた定理などは、実線形空間でも成り立つのでは？と思いました。←これが一番知りたいことです（汗

それとも、そもそも私が思っていたR^n⊂C^nが間違ってるのかな？とも思いました。

どなたか、線形代数に詳しい方回答よろしくお願いします。

回答No.1

arrysthmia · ベストアンサー

多くの事項が、R^n と C^n で共通だから、K^n で考えておくのですが、
R と C が異なる以上、全てのことが全く同じという訳にはいきません。

C^n で成り立つが、R^n では成り立たない定理の例：
「固有値に重根を持たない線形写像(の表現行列)は、対角化可能である。」
０　－１
１　　０　　が、反例です。

お礼

回答ありがとうございます。
あと返信が遅れてしまって申し訳ありません。

反例もわざわざつけていただいて、助かります！

いまちょうど、冬期休暇を利用して、固有値のところを勉強している段階なので、与えられた反例を理解できていませんが、学習後、じっくり考えてみたいと思います。

本当にありがとうございました。

回答No.2

noname#130082

R^n⊂C^n が間違っているのではなく、「R^n⊂C^n ならば C^nで得られた定理はR^nで成り立つ」が必ずしも成り立つとは言えない、ということだと思います。

K上の線形空間の話をする、というのはRとCに共通の性質だけ（あるいはもっと一般に、任意の体で成り立つ性質だけ）で議論できる性質の話をする、という意味で、そのKにRを代入すれば実線形空間の性質がわかり、Cを代入すれば複素線形空間の性質がわかる、ということだと思います。

お礼

回答ありがとうございます。
返信遅れて大変申し訳ありません。
R^n⊂C^n が間違っているのではないのですね。
そこも確認しておきたかったので、助かります！

とりあえずＫ上で議論しておけば、適宜ＫをＲやＣに置き換えることでそれぞれの性質がわかる・・・ということですね！

本当にありがとうございました。助かりました！