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正規直交基底に関する問いです。お願いします。
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以下の定理を使います。 a1,a2,……,an はそれぞれベクトルで基底とする b=c1*a1+c2*a2+……+cn*an (c1……cnは実数でcnは0でない)とする このとき a1,a2,……,an-1,b は基底である (問題の解答) (1) まずR^3の基底を探す R^3の基底で明らかなのは i=<1,0,0> j=<0,1,0> k=<0,0,1> である b=1/3<1,0,0>+2/3<0,1,0>+2/3<0,0,1>とする このとき定理より b , i , j は基底である (2) 基底 b , i , j をシュミットの直交化で正規直交基底にする 間違っているかもしれませんが以下のような答えになりました 1/3<1,2,2> 1/3√2 <4,-1,-1> 1/√2 <0,1,-1>
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- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
いや、シュミットは無駄か。 与えられたベクトル v に平行でないベクトル w を一つ好きに持ってくると、 v, w×v, (w×v)×v は相互に直交する。 No.4 が言ってたのは、これだな。 それぞれ長さで割って、単位ベクトルにすれば終わり。 w=(1,0,0) とかにしとくのが、計算は楽。 あくまで、三次元限定だけど。
- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
「u, v, u×v をシュミット」は、 我ながらセンスなかった。 u, u×v, v をシュミット直交化 するほうがいい。 理由は、A No.4 かな。
- Tacosan
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あるいは「v と独立なベクトル u を v と直交するようにすれ」ば, 3本目の方向は 外積 u×v で求まりますな. もちろん「ランダムなベクトルを選んだときに一次従属となる」確率は 0 と非常に低い.
- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
? 三次元に限った話であれば、 与えられたベクトル(v と置く)に平行でないベクトル u を 任意に持ってきて、v, u, v×u をシュミット直交化する だけでも済むけれど。
- think2nd
- ベストアンサー率63% (23/36)
Keep thinking を忘れていませんか。→?に垂直な平面をπとします。 この平面上にある2つのベクトルを→a、→bとします。外積を使って →a×→b=α→?を満たす→a、→bを探せばいいです。コツは→a、→bを垂直になるように見つけることと、αはあればなんでもいい定数です。
- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
ヤマカンで、あと二つベクトルを持ってきて、 三つのベクトルが一次独立なことを確認 (従属なら、ベクトルを選び直し)の後、 シュミット直交化を行う。 ランダムにベクトルを持ってきたとき 一次従属になる確率の低さを考えれば、 これできっと上手くいくと思われる。
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