単項イデアル整域上の自由加群について

質問

Rを単項イデアル整域として、R^nを階数nの自由R加群とします。
この時、
１．R^nの任意の生成系の元の数はn個以上である
２．任意のn+1個以上のR^nの元の組はR上一次従属である
は言えますか？
おそらく正しいと思うのですが、証明がわかりません。
教えていただければ幸いです。

回答No.3

muturajcp

1.
R^nの底を{e_k}_{k=1～n}
R^nの任意の生成系をM
M={v_j}_{j=1～m}
|M|=m≦nとする
1≦t≦m+1,{e_k}_{k=1～0}={v_k}_{k=m+1～m}=φとする
P(t)=[j=1～m→ヨ(y_j)v_j=({e_k}_{k=1～t-1},{v_k}_{k=t～m}の一次結合)≠0]
が真となることをtの帰納法で示す
P(1)=[j=1～m→v_jが{e_k}_{k=1～0}=φ,{v_k}_{k=1～m}の一次結合]
は真となるのは自明
P(s)=[j=1～m→ヨ(y_j)v_j=({e_k}_{k=1～s-1},{v_k}_{k=s～m}の一次結合)≠0]
は真と仮定すると
(y_j)v_j=Σ_{k=1～s-1}(z_{k,j})e_k+Σ_{k=s～n}(z_{k,j})v_kとなる
[{z_{k,j}∈R}_{k=1～m},0≠y_j∈R]_{j=1～m}がある
M={v_j}_{j=1～m}はR^nの生成系だから
e_s=Σ_{j=1～m}x_jv_jとなる{x_j∈R}_{j=1～m}がある
y=Π_{j=1～m}y_j
z_k=Σ_{j=1～m}x_j(Π_{i≠j}y_i)z_{k,j}
とすると
(y)e_s=Σ_{k=1～s-1}(z_k)(e_k)+Σ_{k=s～m}(z_k)(v_k)
{z_k}_{k=s～m}=0であれば、(y)e_sは{e_k}_{k=1～s-1}の一次結合となり、
{e_j}_{j=1～n}の一次独立性に反するから、
z_k≠0,s≦k≦mとなるkが存在するから{v_k}_{k=s～m}のkを入れ替えて
z_s≠0とする
(z_s)v_s={(y)e_s-Σ_{k=1～s-1}(z_k)(e_k)-Σ_{k=s+1～m}(z_k)(v_k)}
P(s+1)=[j=1～m→ヨ(y_j)v_j=({e_k}_{k=1～s},{v_k}_{k=s+1～m}の一次結合)≠0]
は真となるから帰納法が成立し
P(m+1)=[j=1～m→ヨ(y_j)v_j=({e_k}_{k=1～m}の一次結合)≠0]
は真となるから
j=1～mに対して,
(y_j)v_j=Σ_{k=1～m}(z_{j,k})e_k,となる0≠y_j,z_{j,k}∈Rがある
M={v_j}_{j=1～m}はR^nの生成系だから
e_n=Σ_{j=1～m}(x_j)v_j,となる{x_j∈R}_{j=1～m}がある
y=Π_{j=1～m}y_j
z_k=Σ_{j=1～m}(x_j)(Π_{i≠j}y_i)z_{j,k}
とすると
(y)e_n=Σ_{k=1～m}(z_k)e_k
y≠0だから
{e_n},{e_k}_{k=1～m}は一次従属となるから
n>mならば{e_n},{e_k}_{k=1～m}は一次独立だから
n≦m=|M|となる
∴R^nの任意の生成系の元の数はn個以上となる

2.
R^nの階数はnだから
R^nの底{e_k}_{k=1～n}が存在する
任意のn+1個以上のR^nの元の組をMとする
|M|>n
{v_k}_{k=1～n+1}⊂M
{v_k}_{k=1～n}一次独立とする
1≦t≦n+1,{v_k}_{k=1～0}={e_k}_{k=n+1～n}=φとする
P(t)=[j=1～n→ヨ(y_j)e_j=({v_k}_{k=1～t-1},{e_k}_{k=t～n}の一次結合)≠0]
が真となることをtの帰納法で示す
P(1)=[j=1～n→e_j=({v_k}_{k=1～0}=φ,{e_k}_{k=1～n}の一次結合)≠0]
は真となるのは自明
P(s)=[j=1～n→ヨ(y_j)e_j=({v_k}_{k=1～s-1},{e_k}_{k=s～n}の一次結合)≠0]
は真と仮定すると
(y_j)e_j=Σ_{k=1～s-1}(z_{k,j})v_k+Σ_{k=s～n}(z_{k,j})e_kとなる
[{z_{k,j}∈R}_{k=1～n},0≠y_j∈R]_{j=1～n}がある
{e_j}_{j=1～n}はR^nの底だから
v_s=Σ_{j=1～n}x_je_jとなる{x_j∈R}_{j=1～n}がある
y=Π_{j=1～n}y_j
z_k=Σ_{j=1～n}x_j(Π_{i≠j}y_i)z_{k,j}
とすると
(y)v_s=Σ_{k=1～s-1}(z_k)(v_k)+Σ_{k=s～n}(z_k)(e_k)
{z_k}_{k=s～n}=0であれば、(y)v_sは{v_k}_{k=1～s-1}の一次結合となり、
{v_j}_{j=1～n}の一次独立性に反するから、
z_k≠0,s≦k≦nとなるkが存在するから{e_k}_{k=s～n}のkを入れ替えて
z_s≠0とする
(z_s)e_s={(y)v_s-Σ_{k=1～s-1}(z_k)(v_k)-Σ_{k=s+1～n}(z_k)(e_k)}
P(s+1)=[j=1～n→ヨ(y_j)e_j=({v_k}_{k=1～s},{e_k}_{k=s+1～n}の一次結合)≠0]
は真となるから帰納法が成立し
P(n+1)=[j=1～n→ヨ(y_j)e_j=({v_k}_{k=1～n}の一次結合)≠0]
は真となるから
j=1～nに対して,
(y_j)e_j=Σ_{k=1～n}(z_{j,k})v_k,となる0≠y_j,z_{j,k}∈Rがある
{e_j}_{j=1～n}はR^nの底だから
v_{n+1}=Σ_{j=1～n}(x_j)e_j,となるx_j∈Rがある
y=Π_{j=1～n}y_j
z_k=Σ_{j=1～n}(x_j)(Π_{i≠j}y_i)z_{j,k}
とすると
(y)v_{n+1}=Σ_{k=1～n}(z_k)v_k
y≠0だから
∴
{v_k}_{k=1～n+1}は一次従属

回答No.2

muturajcp

1.
R^nの底を{e_k}_{k=1～n}
R^nの任意の生成系をM
M={v_j}_{j=1～m}
|M|=m≦nとする
1≦t≦m+1,{e_k}_{k=1～0}={v_k}_{k=m+1～m}=φとする
P(t)=[j=1～m→{v_j},{e_k}_{k=1～t-1},{v_k}_{k=t～m}が一次従属]
が真となることをtの帰納法で示す
P(1)=[j=1～m→{v_j},{e_k}_{k=1～0}=φ,{v_k}_{k=1～m}が一次従属]
は真となるのは自明
P(s)=[j=1～m→{v_j},{e_k}_{k=1～s-1},{v_k}_{k=s～m}が一次従属]
は真と仮定すると
(y_j)v_j=Σ_{k=1～s-1}(z_{k,j})e_k+Σ_{k=s～n}(z_{k,j})v_kとなる
[{z_{k,j}∈R}_{k=1～m},0≠y_j∈R]_{j=1～m}がある
M={v_j}_{j=1～m}はR^nの生成系だから
e_s=Σ_{j=1～m}x_jv_jとなる{x_j∈R}_{j=1～m}がある
y=Π_{j=1～m}y_j
z_k=Σ_{j=1～m}x_j(Π_{i≠j}y_i)z_{k,j}
とすると
(y)e_s=Σ_{k=1～s-1}(z_k)(e_k)+Σ_{k=s～m}(z_k)(v_k)
{z_k}_{k=s～m}=0であれば、(y)e_sは{e_k}_{k=1～s-1}の一次結合となり、
{e_j}_{j=1～n}の一次独立性に反するから、
z_k≠0,s≦k≦mとなるkが存在するから{v_k}_{k=s～m}のkを入れ替えて
z_s≠0とする
(z_s)v_s={(y)e_s-Σ_{k=1～s-1}(z_k)(e_k)-Σ_{k=s+1～m}(z_k)(v_k)}
{v_s},{e_k}_{k=1～s},{v_k}_{k=s+1～m}が一次従属となる
P(s+1)=[j=1～m→{v_j},{e_k}_{k=1～s},{v_k}_{k=s+1～m}が一次従属]
は真となるから帰納法が成立し
P(m+1)=[j=1～m→{v_j},{e_k}_{k=1～m}が一次従属]
は真となるから
j=1～mに対して,
(y_j)v_j=Σ_{k=1～m}(z_{j,k})e_k,となるy_j,z_{j,k}∈Rがある
M={v_j}_{j=1～m}はR^nの生成系だから
e_n=Σ_{j=1～m}(x_j)v_j,となる{x_j∈R}_{j=1～m}がある
y=Π_{j=1～m}y_j
z_k=Σ_{j=1～m}(x_j)(Π_{i≠j}y_i)z_{j,k}
とすると
(y)e_n=Σ_{k=1～m}(z_k)e_k
{e_n},{e_k}_{k=1～m}は一次従属となるから
n>mならば{e_n},{e_k}_{k=1～m}は一次独立だから
n≦m=|M|となる
∴R^nの任意の生成系の元の数はn個以上となる

2.
R^nの階数はnだから
R^nの底{e_k}_{k=1～n}が存在する
任意のn+1個以上のR^nの元の組をMとする
|M|>n
{v_k}_{k=1～n+1}⊂M
{v_k}_{k=1～n}一次独立とする
1≦t≦n+1,{v_k}_{k=1～0}={e_k}_{k=n+1～n}=φとする
P(t)=[j=1～n→{e_j},{v_k}_{k=1～t-1},{e_k}_{k=t～n}が一次従属]
が真となることをtの帰納法で示す
P(1)=[j=1～n→{e_j},{v_k}_{k=1～0}=φ,{e_k}_{k=1～n}が一次従属]
は真となるのは自明
P(s)=[j=1～n→{e_j},{v_k}_{k=1～s-1},{e_k}_{k=s～n}が一次従属]
は真と仮定すると
(y_j)e_j=Σ_{k=1～s-1}(z_{k,j})v_k+Σ_{k=s～n}(z_{k,j})e_kとなる
[{z_{k,j}∈R}_{k=1～n},0≠y_j∈R]_{j=1～n}がある
{e_j}_{j=1～n}はR^nの底だから
v_s=Σ_{j=1～n}x_je_jとなる{x_j∈R}_{j=1～n}がある
y=Π_{j=1～n}y_j
z_k=Σ_{j=1～n}x_j(Π_{i≠j}y_i)z_{k,j}
とすると
(y)v_s=Σ_{k=1～s-1}(z_k)(v_k)+Σ_{k=s～n}(z_k)(e_k)
{z_k}_{k=s～n}=0であれば、(y)v_sは{v_k}_{k=1～s-1}の一次結合となり、
{v_j}_{j=1～n}の一次独立性に反するから、
z_k≠0,s≦k≦nとなるkが存在するから{e_k}_{k=s～n}のkを入れ替えて
z_s≠0とする
(z_s)e_s={(y)v_s-Σ_{k=1～s-1}(z_k)(v_k)-Σ_{k=s+1～n}(z_k)(e_k)}
{e_s},{v_k}_{k=1～s},{e_k}_{k=s+1～n}が一次従属となる
P(s+1)=[j=1～n→{e_j},{v_k}_{k=1～s},{e_k}_{k=s+1～n}が一次従属]
は真となるから帰納法が成立し
P(n+1)=[j=1～n→{e_j},{v_k}_{k=1～n}が一次従属]
は真となるから
j=1～nに対して,
(y_j)e_j=Σ_{k=1～n}(z_{j,k})v_k,となるy_j,z_{j,k}∈Rがある
{e_j}_{j=1～n}はR^nの底だから
v_{n+1}=Σ_{j=1～n}(x_j)e_j,となるx_j∈Rがある
y=Π_{j=1～n}y_j
z_k=Σ_{j=1～n}(x_j)(Π_{i≠j}y_i)z_{j,k}
とすると
(y)v_{n+1}=Σ_{k=1～n}(z_k)v_k
∴
{v_k}_{k=1～n+1}は一次従属

回答No.1

muturajcp

定義1)自由加群の生成系を底とよぶ
定義2)n元から成る底をもつ自由加群を階数nの自由加群とよぶ
R^nの階数はnだから定義より、
階数=生成系の元の数=n

補足

生成系でかつ一次独立なものが基底です。
生成系が基底であるとは限りません。