イデアルについて

質問

(1)イデアルのノルムについて
初等整数論講義などの二次体に限った議論をしている本では、イデアルIのノルムN'(I)(あえて'をつけています)とは共役イデアル(Aの元の共役全体の集合)をI'としたときII'=(n)となる有理整数のことだと定義しています(nの存在は証明されている)。
これは一般のデデキント環AにおけるイデアルIのノルムN_A(I):=|A/I|に矛盾するでしょうか？
しないとしたら証明をお願いします。

(2)アルティン環のイデアルは有限個ですか？
k[x^2, x^3]/(x^4)
においてax^2 + bx^3 (a,b は体kの元)で生成されるイデアルたちが無限個ありそうなので、偽と踏んでいますが厳密な証明を与えられる方はいらっしゃいませんか。

(3)Z[x]のイデアル(の形)を全て求めてください。ただし
https://math.stackexchange.com/questions/300170/ …
にある情報は断りなく使用して良いです。解かれているか否か、情報だけでもいいですし、考察でもいいので是非ご回答ください。

回答No.1

jcpmutura

Q=(全有理数)
Z=(全有理整数)
2次体
K(√m)={x+y√m|x,y∈Q}
に対して
m=1(mod4)の時ω=(1+√m)/2
m≠1(mod4)の時ω=√m
A={x+yω|x,y∈Z}
の要素を2次体K(√m)の整数という

AのイデアルIに対して
共役イデアルをI'
とすると
II'=(n)
となる
n=N'(I)∈Z
が存在する

Iに対して
I=[a,b+cω]=c[a_0,b_0+ω]
aはIの最小自然数
cはωの係数の正最小値
a,b+cωはIの底(生成元)で
a>0,c>0,a>b≧0,a=a_0c,b=b_0c
となるa,b,c,a_0,b_0∈Zがある
I=cI_0=c[a_0,b_0+ω]
ac=a_0c^2
N'(I)=N'(c)N'(I_0)=c^2N'(I_0)

I_0(I_0)'
=(a_0,b_0+ω)(a_0,b_0+ω')
=(a_0^2,a_0(b_0+ω),a_0(b_0+ω'),(b_0+ω)(b_0+ω'))

(b_0+ω)(b_0+ω')∈ZはI_0に含まれるから
a_0で割り切れるから
(b_0+ω)(b_0+ω')=a_0q_0
となるq_0∈Zがあるから
I_0(I_0)'=a_0(a_0,b_0+ω,b_0+ω',q_0)
∴N'(I_0)=n_0とおけばn_0はa_0で割り切れるから
n_0=a_0n'となるn'∈Zがあるから
(n')=(a_0,b_0+ω,b_0+ω',q_0)
b_0+ω,b_0+ω'の有理整数の公約数は1だから
n'=1
したがって
n_0=a_0
すなわち
N'(I_0)=a_0
∴
n=N'(I)=ac

任意のξ=x+yω∈Aに対して
yをcで割った商をq,余りをy_0とすると
y=qc+y_0
0≦y_0<c
だから
ξ-q(b+cω)=(x-qb)+y_0ω
x-qbをaで割った商をp,余りをx_0とすると
x-qb=pa+x_0
0≦x_0<a
だから
ξ-{pa+q(b+cω)}=x_0+y_0ω
∴
ξ=x_0+y_0ω(mod.I)
0≦x_0<a
0≦y_0<c
だから
任意のξ=x+yω∈Aは
x_0+y_0ωのような
n=ac個のAの要素の内のあるものと合同である

x_0+y_0ω=x_0'+y_0'ω(mod.I)
0≦x_0<a
0≦y_0<c
0≦x_0'<a
0≦y_0'<c
とすると
(x_0-x_0')+(y_0-y_0')ω∈I
|y_0-y_0'|<c
だから
y_0=y_0'
だから
x_0-x_0'∈I
|x_0-x_0'|<a
∴
x_0=x_0'
すなわち
x_0+y_0ω=x_0'+y_0'ω
∴
N_A(I)=|A/I|=ac=n=N'(I)