イデアルの重要性が分かりません

質問

イデアルの定義は、
ある集合Rに含まれる部分集合である環Iの元aとRの元bの積が
Iの元であるときのaをイデアルと呼ぶ
というものですが、これの一体どこがどう重要なのでしょうか？
よく書籍では環論においてもっとも重要な概念で一つである
というように説明されますが、どこがどう重要なのか分かりません。
どなたか平易な言葉で説明して頂けないでしょうか？

回答No.1

33550336 · ベストアンサー

まずイデアルの定義が間違えてます。
イデアルはそれ自身環である必要はありません。
例えば整数環の中の２の倍数全体からなる集合はイデアルですが、環ではありませんよね。

で、イデアルの重要性ですが、群論は勉強されましたか？
剰余群を定義するためには正規部分群である必要がありましたが、
剰余環を定義するためにはイデアルで割る必要があります。
剰余環がどれだけ重要かは、環論に限らず、現代数学を少しでも勉強すればすぐにわかります。

また多項式環の素イデアルは代数多様体といい、代数幾何学の主な研究対象のひとつです。

他にも数論や代数トポロジーなどでもイデアルは度々現れます。
勉強していくうちに重要性もわかると思いますよ。