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代数学☆イデアルの問題
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まずＭ１Ｍ１＝Ｍ１は成立しません。Rが有理整数環Z、M1 が2の倍数の集合の時、M1M1は4の倍数の集合です。 Rが有理整数環Zであるときに M1M1＋M2M2 = R の証明を書きます。M1=(m), M2=(n) であるときm^2とn^2が互いに素でないとすれば a|m^2, a|n^2 となる単元でないaが存在します。aを素因数分解したときの因子の一つをpとすると p|m^2, p|n^2 が成り立ちます。pは素数なので p|m, p|n これはmとnが互いに素であることと矛盾します。したがってm^2とn^2は互いに素です。単項イデアル整域でこれが成立しますが、一般の可換環で成立するかどうかは分かりません。
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- achar1
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まず、Ｍ１＋Ｍ２＝Ｒ、1∈Ｒより、1＝ｘ＋ｙ ｘ∈Ｍ１、ｙ∈Ｍ２ と表せる。 任意のｚ∈Ｒを、ｚ＝a＋b a∈Ｍ１、b∈Ｍ２ と表す。 ｚ＝ｚ*1*1＝(a＋b)(ｘ＋ｙ)(ｘ＋ｙ)＝(a＋b)(ｘｘ＋2ｘｙ＋ｙｙ)＝(aｘx＋2aｘｙ＋bｘｘ)＋(aｙｙ＋2bｘｙ＋bｙｙ) ここで、Ｍ１、Ｍ２がＲのイデアルであるから、 ｘx∈Ｍ１、ｘｙ∈Ｍ１、bｘ∈Ｍ１、aｙ∈Ｍ２、ｘｙ∈Ｍ２、ｙｙ∈Ｍ２ となるので、 aｘx＋2aｘｙ＋bｘｘ∈Ｍ１Ｍ１、aｙｙ＋2bｘｙ＋bｙｙ∈Ｍ２Ｍ２ となる。 よって、ｚ∈Ｍ１Ｍ１＋Ｍ２Ｍ２ となるので、題意は示された。 なんか、こじつけみたいな証明ですけど。。。。。
お礼
ありがとうございます！！ ほ～！！こんなやり方もあるんですね。 参考にさせていただきます。 お礼が遅くなってしまってすみません。
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