至急お願いします！！！！！！！

質問

代数学の問題です。
多いですが難易度はそんなにないらしいです。（自分は恥ずかしいですがわかりません…）
よろしくお願いします。

1.R=Z/6Zとする。R[x]⊃I=(x-2)とおく。（2の上にはバーがついてます）Iは素イデアルでないことを示せ。

2.Z[x]⊃(5)は極大イデアルか？

3.Rを整域とする。R加群Mに対し、T(M)={x∈M|あるRの元a≠0に対しax=0}と定める。
(1)R加群Mに対し、T(M)はMの部分R加群になることを示せ。
(2)R加群Mに対し、T(M/T(M))={0}を示せ。

4.自由C[x,y]加群M=C[x,y]+C[x,y]を考える。（+の周りを〇で囲ってます）Mの部分集合Nを
N={(f(x,y),g(x,y))∈M|f(x,y)=xg(x,y)}と定める。NはMの部分C[x,y]加群であることを示せ。

5.M,Nを4のものとする。C[x,y]加群の同型M/N～の下に直線一本C[x,y}を示せ。

6.Nを4のものとする。Nは自由C[x,y]加群か？

回答No.1

muturajcp · ベストアンサー

1.
(3x+4)(4x+1)=x-2(mod6)
だから(3x+4)(4x+1)=0(modI)
3x+4=a(x-2)となるaは無いから3x+4≠0(modI)
4x+1=a(x-2)となるaは無いから4x+1≠0(modI)
∴(x-2)は素イデアルでない
2.
(x)+(5)={ax+5b|{a,b}⊂Z}とすると,
(x)+(5)はZ[x]のイデアル
(5)⊂(x)+(5)⊂Z[x]
x+5∈{(x)+(5)}-(5)だから(5)≠(x)+(5)
1∈Z[x]-{(x)+(5)}だから(x)+(5)≠Z[x]
∴(5)は極大でない
3.
(1)
T(M)の定義からT(M)⊂M
{x,y}⊂T(M)とすると
→{a,b}⊂R,ax=0,by=0となるa,bがある
→ab(x+y)=abx+aby=bax+aby=0
→x+y∈T(M)
x∈T(M),a∈Rとすると
bx=0,b∈Rとなるbがある
→bax=abx=0
→ax∈T(M)
→T(M)はMの部分R加群
(2)
(x)∈T(M/T(M))とすると
(x)∈M/T(M)
a∈R,a(x)=T(M)となるaがある
ax∈T(M)だから
b∈R,bax=0となるbがある
→x∈T(M)→(x)=T(M)=0
∴T(M/T(M))={0}
4.
Nの定義からN⊂M
{(f1,g1),(f2,g2)}⊂Nとすると
→f1=xg1,f2=xg2
→f1+f2=x(g1+g2)
→(f1,g1)+(f2,g2)=(f1+f2,g1+g2)∈N
(f,g)∈N,h∈C[x,y]とすると
→f=xg
→hf=hxg=xhg
→h(f,g)=(hf,hg)∈N
→NはMの部分C[x,y]加群
5.
F:M→C[x,y],F(f,g)=f-xg
f∈C[x,y]→F(f,0)=f→Fは全射
{(f1,g1),(f2,g2)}⊂Mとすると
→F((f1,g1)+(f2,g2))=f1+f2-x(g1+g2)
=f1-xg1+f2-xg2=F(f1,g1)+F(f2,g2)
(f,g)∈M,h∈C[x,y]とすると
→F(h(f,g))=hf-xhg=h(f-xg)=hF(f,g)
→Fは全射準同型
(f,g)∈ker(F)
←→F(f,g)=f-xg=0
←→(f,g)∈N
→ker(F)=N
∴M/N～同型～C[x,y]
6.
(x,1)∈M,x=x*1→(x,1)∈N
((x,1))={g(x,1)|g∈C[x,y]}とすると
NはC[x,y]加群だから
→((x,1))⊂N
(f,g)∈Nとすると
→f=xg
→(f,g)=(xg,g)=g(x,1)∈N
→N=((x,1))
∴Nは底(x,1)を持つ自由C[x,y]加群である

お礼

ほんっとにこんな質問に答えてくれてありがとうございました！！！！！
本当に助かりました。