線形代数の問題です。至急御願いします！

質問

※バーとは複素共役のことです。
標準内積の定義
(x,y∈C)
(x,y)=x1y1バー+x2y2バー+…xnynバー
(yのみバーがつきます)
また標準内積は次の性質を満たす
1.(x1+x2y)=(x1,y)+(x2,y)
2.(λx,y)=λ(x,y)(λ∈C)
3.(x,y)=(y,x)バー
4.||x||≧0,||x||=0⇔x=0

問.
次の(1)～(3)は、上記の4つの条件を実際にみたすことを確かめよ。
（１）Ｃ[Ｘ]n∋f=Σ(i=0→n) ai・X^i,g=Σ(i=0→n) bi・X^i
(f,g)=Σ(i=0→n) ai・biバー（biのみバー)

（２）Ｃ[Ｘ]n∋f,g
(f,g)=∫(ｃ^１)f(X)・g(X)バー（g(X)のみバー)dX
ここで、c^1={Z∈C||Z|=1}

(3)ヒルベルト・シュミット内積
X,Y∈M(m,n;C)に対し、
(X,Y)=Tr(X,tYバー)(tは転置を表す）
X,tYバー∈M(m,n;C)
A∈M(m,n;C)に対し、Tr(A)=a11+a22+...+amn(数字は添字）(Aの対角成分の和）

回答No.2

noname#126309 · ベストアンサー

よく見たらしょっぱなからしておかしい計算になっていた。
>>{ai}(i=1～n)と{bi}(i=1～n)をそれぞれA,Bのi行i列の成分とすれば
(X,Y)＝∑(i=1～n)ai×(bi)_

の部分は間違い。　　続きから新しい気持ちでもう一度書きなおす。
行列の積の性質　t(X×tY_)＝(Y_×tX)　　(×は内積の積の演算を指し、_は複素共役行列を意図する)
＝(Y×tX_)_

を使えばすぐに分かる。転置をとっても元の行列のトレースと同じであるから
Tr(X×tY_)=Tr(Y×tX_)_ が言えて、(X,Y)=(Y,X)_
交換性はこれで示せた。
線形性(1と2)が成り立つのは明らかだろう。
残るは正値性だが、自分で考えよう。ヒントはA=[a1,a2,・・・,an]とおいてベクトルの積の性質
を使えば自明。

お礼

ありがとうございました！

回答No.1

noname#126309

(1)は複素数の分配法則、結合性、正値性から明らか。
(2)も同様。積分の分配法則、結合性、正値性によって分かる。なので(1)と(2)は自分で確かめること。
(3)だけ少し分かりやすく説明すると、(3)で定義された行列同士の積によるトレースは
(1)のような形になることに気付けば分かる。
つまり{ai}(i=1～n)と{bi}(i=1～n)をそれぞれA,Bのi行i列の成分とすれば
(X,Y)＝∑(i=1～n)ai×(bi)_ (_は共役複素数を表す)より(1)の結果から明らか。