大学数学(線形代数III)の問題です

質問

(1)R^nを(Euclid空間とは限らない)内積空間とする。このとき0でないベクトルa1,a2,...,ar(1≦r≦n)が互いに直交するとき、これらr個のベクトル系は一次独立であることを証明せよ。

(2)次の連立漸化式の一般項x[n],y[n],z[n]を求めよ。
　　x[n+1] = 6x[n] - y[n] - z[n]
　　y[n+1] = 4x[n] - 8y[n] + 8z[n]
　　z[n+1] = 4x[n] - 7y[n] + 7z[n]

わかるほうだけでもかまいませんので、どなたかお願いします。

回答No.3

kup3kup3 · ベストアンサー

こんにちは。
(1)　a_jとa_jとの内積を(a_i,a_j)で表すことにする。a_1,a_2,・・・,a_rが
一次独立であることを示すには、Σ{i=1　to　r}r_i×a_i=0　⇒r_i=0(i=1,・・・,r）・・・(*)を
示せばよい。ただしｒ_iは実数とする。そこでΣ{i=1　to　r}r_i×a_i=0としよう。∀ｊ(j=1,・・・,r)をとったとき、
内積の性質より　(Σ{i=1　to　r}r_i×a_i，a_j)=0　・・・(1)となる。(1)の左辺は内積の性質より
Σ{i=1　to　r}r_i(a_i,a_j)=0　・・・(2)　ここで　i≠jのとき、a_iとa_jとは直交し、
各a_iは0ベクトルではないから　i≠jのとき、(a_i,a_j)=0,また(a_j,a_j)>0 ・・・(3)
よって(2)は、r_j(a_j,a_j)=0となる。　(a_j,a_j)>0だから　r_j=0(j=1.・・・,r)となって(*)がいえた。
こうして、a_1,a_2,・・・,a_rは一次独立である。ポイントは、直交しているとあったから
内積をとって計算したことです。
(2)
数列系の漸化式で、与えられた漸化式をx[n},ｙ[n],z[n]を一つのベクトルp[n]として、すなわち
p[n]=(x[n},ｙ[n],z[n])^t　（　^tは転置行列を表す）とおくと、
行列の漸化式　p[n+1]=Ap[n]　・・・(1)　となる。(1)を繰り返して、p[n]=A^(n-1)p[1]　・・・(2)
ここにA^(n-1)は行列Aの(n-1)乗を表す。行列　Bが対角形であって、
B=
(λ_1　　0　　　0　)
(　0　　λ_2　　0　)
(　0　　 0　　 λ_3)
ならば,B^nは容易に
B^n=
(λ_1^n　　0　　　0　)
(　0　　λ_2^n　　0　)
(　0　　 0　　 λ_3^n)
となるから、(1)の行列の対角化を考える。つまり正則行列Pをとって
P^(-1)AP=B　・・・(3)　とならないかと考える。そうすると、A=PBP^(-1)　より
A^n=P[B^n]P^(-1)　・・・(4)となり、(2)が計算できる。そこで
A=
(6　-1　-1)
(4　-8　 8)
(4　-7　 7)
とおいて、固有方程式はλ^3-5λ^2+2λ+8=0　・・・(5)　となり、解くと
λ_1=-1,λ_2=2,λ_3=4　・・・(6)となる。固有値がみな異なり対角化できる。
Pを求めるために固有ベクトルを求めるところまで進んでるようですね。
私が計算した「固有ベクトルを求めるところ」を書いておきますから、
参考にして計算間違いを見つけてください。
(ア)
λ_1=-1のとき、(A+E)(x,y,z)^t=(0,0,0)^t　として
7x-y-z=0　・・・(7),4x-7y+8z=0・・・(8),4x-7y+8z=0　前の２つから(7)×8+(8)として
60x-15y=0　よって　y=4x　・・・(9)　(7)に代入してz=7x-y=7x-4x=3x　こうして
(x,y,z)=(x,4x,3x)=x(1,4,3)　ここでx=1として、(x,y,z)=(1,4,3)　・・・(10)
[ここのところでx=0とおいて間違っていませんか？固有ベクトルは0ベクトルとしてはいけません。
0ベクトルでないというのが固有ベクトルの定義に入っています。]　次に
(イ)
λ_2=2のとき、
(A-2E)(x,y,z)^t=(0,0,0)^t　として、4x-y-z=0,・・・(11),4x-10y+8z=0　・・・(12),4x-7y+5z=0　・・・(13)
(12)-(13)　-3y+3z=0⇒z=y　(11)に代入4x-2z=0　⇒　z=2x=y　⇒(x,y,z)=(x,2x,2x)=x(1,2,2)
そこでx=1とおいて(x,y,z)=(1,2,2)　・・・(14)　次に
(ウ)
λ_3=4のとき、
(A-4E)(x,y,z)^t=(0,0,0)^t　として,2x-y-z=0・・・(15),4x-12y+8z=0・・・(16)　
4x-7y+3z=0・・・(17)　(16)⇔x-3y+2z=0・・・(18)
　(15)-2×(18)　⇒5y-5z=0　⇒y=z　(15)に代入2x-2z=0⇔z=x　
よって
(x,y,z)=(x,x,x)=x(1,1,1) x=1 として(x,y,z)=(1,1,1)　・・・(19)

以上(10),(14),(19)より
P=
(1 　1 1 )　
(4 2 1 )
(3 2 1 )
このとき、detP=1　・・・(20)となる。余因子行列を計算してPの逆行列P^(-1)は
P^(-1)=
(0 1 -1)
(-1 -2 3)
(2 1 -2)　・・・(21)
となります。必ずペンを持って計算して確認してください。
この後は任せますので、これからも諦めずに粘り強く数学を勉強して行ってください。
それから　、あなたの質問に付き合ってくださったAN01,ANo2の方にも感謝を申しあげて
おくように。これからも頑張ってください。

お礼

回答を参考に計算してみたいと思います。ありがとうございました。

回答No.2

Tacosan

(1) 「Euclid空間なら分かる?」ってのは, 「Euclid空間がどういう物かがわかるのか」を問うているんじゃないんだけどねぇ, 「Euclid空間なら証明できるけど『(Euclid空間とは限らない)内積空間』としたときに証明できない」のか, それとも「Euclid空間としても証明できない」のか, なんだけど. ちなみにそこに書いてある文章も意味不明. たとえば「E^n」が何の説明もなく出てきてるでしょ.

(2) 確認してみたけど固有値はあってる. したがって「固有ベクトルを求めていく過程で、０ベクトルが出てきてしまい、その先に式が続かなくなってしまいました」というのはどこかで計算を間違えている. もちろんどこで間違えたかは知らん.

お礼

No3の方の回答をもとに計算してみたいと思います。回答ありがとうございました。

補足

(2)はできました。どうやらx=4の式の計算を間違えていたようです。ありがとうございました。

(1)については「Euclid空間としても証明できない」状態です。どうすれば各ベクトルが互いに直交し、
　 ベクトル系が一次独立であることが証明できるのかの予想もできない状態です。

回答No.1

Tacosan

どこまでわかって何で困ってる? 大学生なんだろうから「丸投げは恥」と思え.

(1) Euclid空間なら分かる?
(2) この問題がなぜ「線形代数」で出ているのかを考える.

補足

(1)R^nに含まれるベクトルa,bに対して、aとbの標準内積(EUclid内積)がa・b=a[1]b[1]+a[2]b[2]+...+a[n]b[n]
　 の形で表され、aの大きさ｜｜a｜｜が｜｜a｜｜=√a・a=√a[1]^2+...a[n]^2　の式で表されることと、
　 数ベクトル空間R^nに標準内積を考えたものを内積の定義された空間として、記号E^nで表したものが　　
　 Euclid空間であるという認識でかまいませんか？

(2)特性方程式から固有値と固有ベクトルを求め、得られた解から行列の対角化を利用して一般項を求めよう
　 と考えてやってみましたが、得られた固有値をもとに固有ベクトルを求めていく過程で、
　 ０ベクトルが出てきてしまい、その先に式が続かなくなってしまいました。
　立てた式自体にもあまり自信がありません。
　 特性方程式を解いて出てきた固有値はx=-1,2,4です（左からλ[1],λ[2],λ[3]で計算しています）