単項イデアル整域

質問

「１．ユークリッド整域
　２．整数環Ｚ
　３．実数上の一変数多項式環Ｒ[X]　

　以上の３つはすべて単項イデアルであることを示せ。」

なのですが、どれか一つでもかまいませんので教えてください。お願いしますm(__)m

回答No.2

ume-kichi · ベストアンサー

Ｒをユークリッド整域とする。
ＩをＲの任意のイデアルとして、Ｉが単項イデアルであることを証明する。
Ｉ＝｛０｝であれば、これは単項イデアルである。
（定義にあてはまってることは確認するまでもないかも…）
よって、Ｉ≠｛０｝とする。
このとき、｛Ｎ(ａ)｜ａ∈Ｉ，ａ≠０｝はＮの空集合でない部分集合なので、大きさが最小となる元が存在する。
Ｎ(ｇ)がその最小値になるようなｇ∈Ｉを１つとる。つまり、ｇはＩの元であり
Ｎ(ｇ)＝ｍｉｎ｛Ｎ(ａ)｜ａ∈Ｉ，ａ≠０｝　…☆　をみたす。
このとき、任意のｇに対して、ｇ∈Ｉであるから、(ｇ)⊂Ｉは成り立つ。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ↑単項イデアルの記号
次に、ｂ∈Ｉとする。ユークリッド整域の定義より
ｂ＝ｑｇ＋ｒ，Ｎ(ｒ)＜Ｎ(ｇ)をみたすｑ，ｒ∈Ｒが存在する。
ｂとｇはイデアルＩに属しているから、ｒ＝ｂ－ｑｇもイデアルＩの元である。
もし今、ｒ≠０ならば、Ｎ(ｒ)＜Ｎ(ｇ)に矛盾する。
（　↑　Ｎ(ｇ)は☆より最小の元だから…）
よってｒ＝０でなくてはならない。
よって、ｂ＝ｑｒとなるので、ｂ∈(ｇ)。
ｂはＩ任意の元だったので、Ｉ⊂(ｇ)が成り立つ。
以上より、Ｉ＝(ｇ)　　（(ｇ)⊂Ｉであり、Ｉ⊂(ｇ)であるから…）
よって、Ｉは単項イデアル。

また、整数環Ｚや実数上の一変数多項式環Ｒ[X]はユークリッド整域（本当にそうであるのか確かめてみてくださいね）なので単項イデアルである。

回答No.1

Mell-Lily

下記のURLをご覧ください。

http://www.dslender.com/math/
pdfファイル「イデアルと部分分数分解」参照