整数論に関しての質問です。

質問

整数論に関しての質問です。

[Z√2i]が単項イデアル整域で素元分解可能であることはどのように考えて証明すればよいのでしょうか?

よろしくお願いします。

回答No.1

yoikagari · ベストアンサー

Z[√2i]がユークリッド整域であることを示す。
Z[√2i]のα，0ではないZ[√2i]の元βを任意にとる。
α=s+t(√2i)，β=u+v(√2i)
また、ノルムN(α)をN(α)=s^2+2t^2と定義する。

α/β=(su+2tv)/(u^2+2v^2)+{(-sv+tu)/(u^2+2v^2)}(√2i)
(su+2tv)/(u^2+2v^2)に最も近い整数をm
(-sv+tu)/(u^2+2v^2)に最も近い整数をnとする
θ=m+n(√2i)，γ=α/β-θとおくと
βγ=α-βθ=(s-mu+2nv)+(t-mv-nu)√2iだからβγはZ[√2i]の元でなおかつ
N(βγ)=N(β)・N(α/β-θ)＜N(β)
「なぜならば、N(α/β-θ)
={(su+2tv)/(u^2+2v^2) - m}^2+2{(-sv+tu)/(u^2+2v^2) - n}^2
≦1/4+2/4=3/4＜1だから！」

γθ=δとおくと、α=βθ+δ δ∈Z[√2i]，N(δ)＜N(β)とかける。
したがって、Z[√2i]がユークリッド整域である。

よって、Z[√2i]が単項イデアル整域であること、素元分解可能であることがわかる。

お礼

詳しい説明ありがとうございます。