素数の分類に関して

質問

［類題］　「8n + 3 型の素数は無限に多くある事を示せ。」の略解。

＊）文中のｐ＾は複素数ｐの共役な複素数です。例えば、ｐ＝１＋iの場合、ｐ＾は１－iのことです。
また、a2 はaの二乗という意味です。

　証明）もし 8n + 3 型の素数が有限個であったとし、その全体を　p1, p2, ... , pn とする。 P = p1p2 ... pn + √2 i と置いて、これを単項イデアル整域 Z[√2 i ] で素元分解する。 N (P) = PP^ は奇数であるから（正確には、 N (P) ≡ 3 ( mod. 8 ) 、） P の有理整数の素因数は奇数である。この因子は PP^ の中では偶数冪で出てくるから、その部分は 8n + 1 型である。又、 P は有理整数に同伴でないから、a + b √2 i 型 (b ≠ 0, 有理整数の素因子と同伴でない物) の因子がある。PP^ は奇数であるから a は奇数である。更に、この a + b √2 i 型の因子の b が偶数であるとすると、 N( a + b √2 i ) = a2 + 2b2 ≡ 1 (mod. 8) であるから、 この形の b が全て偶数であるとすると PP^ ≡ 3 (mod. 8) と矛盾する。従って b が奇数の物 a + b √2 i が有るが、素元分解の一意性により、N( a + b √2 i ) = a2 + 2b2 は素数であり a2 + 2b2 ≡ 3 (mod. 8) となり有限性に矛盾。故にこの型の素数は無限個。

この証明における、この因子は PP^ の中では偶数冪で出てくるから、その部分は 8n + 1 型である。がなぜ言えるのかという点と

最後の一文である
素元分解の一意性により、N( a + b √2 i ) = a2 + 2b2 は素数であり a2 + 2b2 ≡ 3 (mod. 8) となり有限性に矛盾。
における
a2 + 2b2 は素数であり a2 + 2b2 ≡ 3 (mod. 8）がなぜ分かるのかが理解できません。

よろしくお願いします。

回答No.1

gaussisper · ベストアンサー

証明ではありませんが、それぞれの行間を読んでみます。

■PP^ の中では偶数冪で出てくる
PとP^は共役だからそれぞれの有理整数の素因数は同じで、P・P^には偶数冪出てくる

■その部分は 8n + 1 型である
奇数を 8n + m と表して直接 2乗を確かめる

■素元分解の一意性により、N( a + b √2 i ) = a2 + 2b2 は素数
有理整数 N( a + b √2 i ) = pp^ が素数でなければ pp^ = s・t（s, t は有理整数）と２通りに分解され、（単項イデアル整域）Z[√2 i ]の素元分解の一意性に反する

■a2 + 2b2 ≡ 3 (mod. 8) となり
a, b はどちらも奇数で、上で奇数の 2乗は 8n + 1 型であることが分かったから a2 + 2b2 ≡ 3 (mod. 8) となる

お礼

とても分かりやすくシンプルな説明ありがとうございます。

証明内容が理解できました。

回答No.2

gaussisper

■素元分解の一意性により、N( a + b √2 i ) = a2 + 2b2 は素数

の部分は間違ってました。