3n+1 の素数について

質問

３ｎ＋１　型　の素数の無限性を証明せよ。
次のような証明をしようとしたが、うまくいきません。アドバイスをお願いします。
　３ｎ＋１型の素数は有限とし、最大な素数をｐとする。
　k=3(7×13×・・・×ｐ)＋１　とおく。
　ｋは合成数であるから、素因数分解され、３ｎ＋２型の偶数個の積になる。（３ｎ＋１型の最大素数がｐであることから）

　＊このあとの証明がうまくいきません。よろしくお願いします。

回答No.1

R_Earl · ベストアンサー

> 　ｋは合成数であるから、素因数分解され、３ｎ＋２型の偶数個の積になる。（３ｎ＋１型の最大素数がｐであることから）

まず、3n + 1型素数に偶数は存在せず、奇数のみである。 …… (＊)

3n + 2型素数2つの積は、3m + 1という形の「整数」になる。
3n + 1型整数2つの積もまた3n + 1型整数になる。
よって

k
= (3n + 2型素数の偶数個の積)
= (3a + 1)(3b + 1)(3c + 1)…
= (3x + 1)(3y + 1)　(x, yは整数)

とおける。
さらに変形して

k
= (3x + 1)(3y + 1)
= 9xy + 3x + 3y + 1
= 3(3xy + x + y) + 1

ここでkは、k = 3(7×13×…×p) + 1でもあるので、次の等式が成り立つ。

3(7×13×…×p) + 1 = 3(3xy + x + y) + 1

これを等式変形して

3(7×13×…×p) = 3(3xy + x + y)
∴ 7×13×…×p = 3xy + x + y

左辺が奇数なので((＊)より)、右辺も奇数。
右辺が奇数になるためにx, yが満たす条件は次の2つ(3つ)である。

[1] x, yが共に奇数
[2] xが偶数、yが奇数
([3] xが奇数、yが偶数)

k = (3x + 1)(3y + 1)とおいたので、
[1]の時kは偶数
[2][3]の時もkは偶数となる。
よってこれは(＊)に矛盾する。

お礼

まとめると
(1)　k = (3x + 1)(3y + 1)　の形になる。
(2)　奇偶の場合分けをする。
(3)　矛盾を導く。
途中までは、いきましたが、この(1)(2)(3)まで考えられませんでした。
大変勉強になりました。

回答No.2

R_Earl

ANo.1です。
締め切られた後で申し訳ないのですが、
私の回答は誤りでした。

kは3n + 1型整数であるのに、私はkを3n + 1型素数として扱ってしまいました。
(＊)の条件は3n + 1型素数にしか成り立たないので、
私の証明の最後の一行は誤りです。
申し訳ありませんでした。