２００！が１０^nで割り切れるようなｎの最大値

質問

「10^nは200!を割り切る。このようなｎの最大値を求めよ」
この問題が答えをみても理解できなくて困っております。
答えによると「求めるｎの最大値は200!を素因数分解したときの、２と５のそれぞれの個数のうちの小さい方である」と説明してあり、小さい５の方の素因数の数を数えて答えは４９となっています。

２と５のそれぞれの個数のうちの小さい方の数がどうして答えとなるのかがわかりません。
回答いただけると助かります。
宜しくお願いいたします

回答No.1

noname#17171 · ベストアンサー

> 10^nは200!を割り切る
とは言い換えれば「200!は10でn回割れる」ってことです。
となると「200!で10を何個作れるか？」という問題だと考えれば言いわけです。
10は九九では「2×5」でしか作れません。
ですから「素因数分解して2と5の数を数える」わけですが、片方がいくらあっても「もう片方がなければ無用の長物」です。
ですから「少ない方（=5）」の数を数えるだけで答えが出ます。

回答No.2

Jodie0625

かけ算をして、１０の倍数になる一番シンプルなのは、
２＊５
のケースです。

１５＊８など、他にもありますが、２＊５、つまり２と５を因数に持っていれば、１０で割り切れることがわかります。
１５＊８＝５＊３＊２＊２＊２＝（２＊５）＊（３＊２＊２）

２と５をそれぞれ組み合わせていくと、その組み合わせの数分だけ、１０で割り切れます。
でも、どちらかが足りない場合、足りないほうを他の因数で求めることができません。２は素数ですから、整数をかけ算して２を作るような素数は存在しません。５も同じです。
よって、２と５が出てくる回数を求めて、少ない方の数をもとめると、１０で何回割り切れるかがわかります。
上の例ですと、２は３回出てきますが、５は１回です。
１５＊８の例ですと、１回だとわかります。

よって、２と５、小さい方の数が１０で割り切れる回数を左右することになります。

お礼

お二方回答ありがとうございます。
具体例を挙げていただいた上に詳しく説明いただきやっと理解できました