素因数分解で最小公倍数・最大公約数がわかるのは何故？

質問

この年齢になって、ちょっと恥ずかしいのですが
素因数分解について質問があります。

なぜ素因数分解で「最小公倍数」や
「最大公約数」がわかるのでしょうか？

最大公約数の場合、例えば８と１２だと

　２）８　１２
　　ーーーーーー
　２）４　　６
　　－－－－－－
　　　２　　３

　８＝２ｘ２ｘ２
１２＝２ｘ２ｘ３

となり、どちらの数にも縦軸の２ｘ２が共通だから
４が最大公約数になる、というのはわかるんですけど
なんか、いまいち説明になってないような気もします。

２、１２、１６で最小公倍数を求めた場合

　２）８　１２　１６
　　－－－－－－ーー
　２）４　　６　　８　
　　－－－－－－－－　
　２）２　　３　　４
　　－－－－－－－－　
　　　１　　３　　２

　８＝２ｘ２ｘ２
１２＝２ｘ２ｘ３
１６＝２ｘ２ｘ２ｘ２

なぜ２ｘ２ｘ２ｘ１ｘ３ｘ２で答えを出すことが
出来るのかわかりません。

いろいろ考えてはみたんですが・・・（＾＾：

猿にも理解出来るよう、教えて頂けないでしょうか？

回答No.3

yukichi623 · ベストアンサー

まずは小難しいことを考えずに、初心に返りましょう。

8の約数は、1,2,4,8
12の約数は、1,2,3,4,6,12
ですよね？
それで、これら約数の中に共通に含まれる値で、最大のものを最大公約数と呼んだわけです。

次に、素因数分解の結果を考えてみます。
8の素因数分解は、2*2*2
12の素因数分解は、2*2*3
ですね。
この素因数分解の結果を使って、それぞれの約数を全て表現できるってことに気づくのが第一歩です。
8だったら、
1:整数なら1を約数に持つのは自明
2:2
4:2*2
8:2*2*2

12だったら、
1:
2:2
3:3
4:2*2
6:2*3
12:2*2*3

とこのように、素因数分解の結果を適当に組み合わせることで、約数を作ることができます。
それで、各約数のうち、最大のものは何か？と考えると、共通する素因数を全て掛け合わせたものになるのです。

次に、最小公倍数です。
こちらで大切なポイントは、
8の素因数分解である2*2*2に何かを掛けたものは、絶対に8の倍数になるという点です。
つまり
(2*2*2)*3=24→8の倍数ですよね。
(2*2*2)*13=104→これもやっぱり8の倍数ですよね。

ということで、問題に帰ってみて、なぜ8,12,16の最小公倍数が2*2*2*2*3で表現できるかということですが、多分もう、説明しなくてもおわかりだと思います。
最初の2*2*2の部分で8の倍数であることが保証されます。
それで、さらに2を掛けて、2*2*2*2とすることで、16の倍数でもあることが保証されます。
12の倍数になるということについては、後半の2*2*3の部分で保証されるわけです。

8,12,16の全ての倍数になることが保証されて、なおかつ最小になるというものが、2*2*2*2*3なのです。

こんな感じでどうでしょう？

お礼

返信、ありがとうございます。

つきつめて考えていくと
「一体、ある数を素数の積に分解するって、どういう意味があるんだろう」と思う訳ですが、
なるほど、とりあえずは「素数の積に分解された数を使って全ての約数を表現するもの」と
考えると理解しやすいですね。
「共通」で「最大」の「約数」ってことがよくわかります。

また、最小公倍数の「保障」という考えも、とても参考になります。
つまり、
　８＝２ｘ２　　ｘ２
１２＝２ｘ２　　　　ｘ３
８にｘ３を入れるのは８の倍数であると共に、１２の倍数であることを保障するためで
１２にｘ２を入れるのは１２の倍数であると共に、８の倍数であることを保障するため。
そして、その保障はtarameさんの言うように
最小値で行われているため、最小公倍数が出てくる、という訳ですか。

なるほど、ようやく理解出来ました。
ありがとうございました。

回答No.4

sanori

＜最大公約数＞

別に素因数分解でなくてもいいんですよ。
素数でなくてもいいんですよ。
因数分解でいいじゃないですか。

最大公約数の場合、例えば８と１２と１６だと
いきなり

　４）８　１２　１６
　　ーーーーーーーーー
　　　２　　３　　４

どっちも４で割れたから、かつ、これ以上割れないから最大公約数は４。
これでいいんです。

だけど、いきなり大きな数でわるよりも、ちまちま素因数でちょびっとずつ割り算したほうが簡単な場合があるじゃないですか。
そういう人だったら、

　２）８　１２　１６
　　ーーーーーーーーー
　２）４　　６　　８
　　－－－－－－ーーー
　　　２　　３　　４

と、ちまちまやって、（＝素数で割っていって）
もうこれ以上、同じ数で一緒に割れません、と。
要するに、これは式で書くと

　８÷２÷２＝２
１２÷２÷２＝３

このように、どっちも「÷２÷２」しました、と。

割り算同士は、括弧の中に掛け算でまとめることができるので、これは、
「÷２÷２」　→　「÷（２×２）」と同じですよね。
だから、「÷４」と同じ。
これ以上大きな数で、一緒に割れない。
だから、４が最大公約数。

＜最小公倍数＞

８、１２、１６で最小公倍数を求めた場合

これも、いきなり行きましょう。

　４）８　１２　１６
　　－－－－－－ーー
　　　２　　３　　４

まずは、ここまで。
いきなり、÷４でなく、÷２÷２　と、ちまちまやっていいのは、最大公約数の話と同じなので、話は省略。

ここまで来て、
（４×２）と（４×３）と（４×４）の公倍数を求めればよいということになって、ということはお分かりですね？
だから、８と１２と１６の２と３と４の最小公倍数に、４を掛ければよいということもわかりますね？

じゃあ、（２×３×４）×４が答え？
いえ、違います。

あくまでも、「（２と３と４の最小公倍数）×８」が答え。

ということで、つづきをやります。

２と３と４の公倍数というのは、
・２と３の最小公倍数　２×３＝６
・３と４の最小公倍数　３×４＝１２
・４と２の最小公倍数　４

の中で、一番大きいものです。
だから１２になります。
これを因数分解で求めましょうか。

まず、２と３

　１）２　　３
　　－－－－－－
　　　２　　３

どちらも、１以外では共通で割れません。
だから、最小公倍数は２×３そのまんま。

次に、３と４
　１）３　　４
　　－－－－－－
　　　３　　４

どちらも、１以外では共通で割れません。
だから、最小公倍数は３×４そのまんま。

ここまではいいですね。

最後に、４と２
ここが問題ですね。

　２）４　　２
　　－－－－－－
　　　２　　１

両方２で共通に割れましたから、
４×２では最小公倍数としては大きすぎます。
なぜかというと共通因数の２をダブルで掛けているからです。
これを防ぐためには、
（４÷共通因数２＝２）と（２÷共通因数２＝１）の最小公倍数を求めて、最後に、それに共通因数２をかければいいですね。

（４÷共通因数２＝２）と（２÷共通因数２＝１）の最小公倍数は、もはや共通因数がないので、当然、
２×１
になります。
ですから、これに共通因数２をかけたものが、４と２の最小公倍数になります。
すなわち
（２×１）×２

ここで再び、
　２）４　　２
　　－－－－－－
　　　２　　１
を見てみましょう。

あれ？
ほら！
ね？
「（２×１）×２」がどこかにありませんか？
・・・もうわかりましたね！

さて、
こうして、２，３，４の最小公倍数は、１２であることがわかりました。

ですから、８、１２，１６の最小公倍数は
１２×４＝４８

さて、総仕上げに入ります。

８と１２と１６の最小公倍数を求めるには、４つの因数分解をやりました。

　４）８　１２　１６
　　－－－－－－ーー
　　　２　　３　　４

　１）２　　３
　　－－－－－－
　　　２　　３

　１）３　　４
　　－－－－－－
　　　３　　４

　２）４　　２
　　－－－－－－
　　　２　　１

なんか、４つもやると、たるいですよね。
４つまとめて計算する方法はないんでしょうか・・・
・・・・・ありますね！

　４）８　１２　１６　←みんな４で割る
　　－－－－－－ーー
　２）２　　３　　４　←２で割れるものだけわる
　　－－－－－－－－　
　　　１　　３　　２

これで、最小公倍数を求めるには十分なんですが、
同じものを素因数分解で、ちまちまやれば、

　２）８　１２　１６
　　－－－－－－ーー
　２）４　　６　　８　
　　－－－－－－－－　
　２）２　　３　　４
　　－－－－－－－－　
　　　１　　３　　２

いかがですか？

お礼

丁寧な解説、ありがとうございました。

８＝２ｘ２ｘ２、ではなく
８÷２÷２＝２、としてとらえるべきだったんですね。

８の最大約数を出すためには
解説して下さった通り、まずは小さな数で割って、その結果を後からかけた方が計算しやすい。
最大約数ということは、ＯｘＯの片方は最小になる訳で

２）８
　－－－－－
２）４
　－－－－－
　　２

この式だと縦が最大約数、横が最小約数を表現することになる。
素因数分解「８＝２ｘ２ｘ２」にどんな意味があるのか、今までわからなかったのですが
８÷２÷２＝２として考えることで、
ようやく疑問がとけました。

＞の中で、一番大きなものです

ここら辺から
ちょっとわかりにくかったのですが（汗）、
つまり、

２）８　１６　１２
　－－－－－－－－
２）４　　８　　６
　－－－－－－－－
　　２　　４　　３

　８＝４　ｘ２
１６＝４　ｘ２　ｘ２
１２＝４　　　　　　　ｘ３

４ｘ２ｘ２ｘ３で、８と１２と１６の倍数であることが保障されているのに
８と１６でだぶったｘ２を加えると
４ｘ２ｘ２ｘ３ｘ２となり、最小公倍数ではなくなってしまう。
だから、たぶりを防ぐために
２つの整数に共通な素因数があった場合、割り続ける必要がある訳ですね。

なぜなら、二つの整数に共通な素因数があるということはたぶりがあるから。

ようやく観念的にではなく、理論的に理解出来たような気がします。
どうもありがとうございました。

回答No.2

tarame

猿に理解させることは、私には出来ませんが……

素因数分解とは、素数の積に分解することですよね。
例えば　１２の素因数分解は
２）１２
　--------
２）　６
　--------
　　　３
だから、１２＝２×２×３　となります。

ある数の約数は、素因数分解して出てくる素数の積としてあらわすことが出来ます。
公約数は、共通な約数のことであり、その最大値が最大公約数です。
したがって、素因数分解してでてくる共通な素数を全部掛け合わせれば、最大の公約数になるわけです。

前述の素因数分解の計算をいくつかの数で同時に行なえば共通な素数を見つけることが出来る訳です。

また、最小公倍数ですが
素因数分解して出てくる素数のうち共通でないものを、
最大公約数にかけることで、全ての数の倍数になります。
それが公倍数の最小値であることは、必要最低限の素数のみ掛け合わせていることから分ります。

お礼

ご回答、どうもありがとうございました。

＞それが公倍数の最小値であることは、必要最低限の＞素数のみで掛け合わせていることから
＞分かります。

この言葉すごくわかりやすいです。
zou3さん（No.1）のお礼で書いた、
お互いの数を取り入れることへの違和感に対して、観念的に理解する手助けに
なりそうです。
残念ながらまだ理論的な理解を得るまでには達していないんですが・・・
とても助かりました。

ありがとうございました。

回答No.1

zou3

(1)８と１２では
　８＝２×２×２
１２＝２×２　　×３　とずらして書きますと

２×２が両方共にあるので、
８と１２を一度に割れる最大の数は２×２の４だから
８と１２の最大公約数は４。

(2)８と１２では
　８＝２×２×２
１２＝２×２　　×３　これをながめてみますと

８に３をかけて、１２には２をかけると

　８×３＝２×２×２×３
１２×２＝２×２×２×３　　となります。

８と１２の公倍数は、
８には３を、１２には２をかけてから
両方に同じ数をかけていかないと公倍数には成りません。
そうすると、８と１２の最小公倍数は２×２×２×３。

同様に
(3)
　８＝２ｘ２ｘ２
１２＝２ｘ２　　　　ｘ３
１６＝２ｘ２ｘ２ｘ２　　　で
最大公約数は２×２。

　８＝２ｘ２ｘ２×２×３
１２＝２ｘ２ｘ２×２ｘ３
１６＝２ｘ２ｘ２ｘ２×３　で
最小公倍数は２ｘ２ｘ２ｘ２×３。

ここまでしか説明できませんでした。

お礼

ご説明、どうもありがとうございました。
なるほど、なるほど・・・
つまり８と１２の最小公倍数は同じ数に
なる訳だから、

　８＝２ｘ２　ｘ２
１２＝２ｘ２　　　ｘ３

８にはｘ３を、１２ｘ２を取り入れることによって
同じ数にすればいい、というわけですね。

しかし、お互いに数を取り入れることに
何か不思議な感覚を覚えます。

４＝２ｘ２
８＝２ｘ２ｘ２

で４にｘ２を取り入れることには
何ら違和感はないのですが
お互いの数を取り入れることには
都合よく最小公倍数になるもんだなぁ・・
という感覚が残ります。

ですが、理解するために
十分すぎるヒントを得たような気がします。

ありがとうございました。