最小公倍数を求める方法でわからないことがあります

質問

例えば60と54の最小公倍数を求めたい場合

まず共通する素因数である2で割ると
30と27
次に共通する素因数3で割ると
10と9

そして2×3×10×9をすると540が最小公倍数となる、ということですが

2×3×10で60の倍数であることが確定して
この中に54の因数である(2×3)は60の倍数であることを確定させる時にすでに計算に入れてあるので
あとは9を掛けると54の倍数であることも確定する
540は60と54の公倍数であることが言える

というのはわかるのですが

この共通する素因数と各数の残りの因数を掛け合わせたものが「最小」を表しているといえる理由は何なのでしょうか？
数式ではなく言葉で説明していただけるとありがたいです。
よろしくお願いします。

回答No.5

tekcycle · ベストアンサー

60に対して、60×９は54の公倍数ではある。ここまでは良いですね。
じゃぁ、60×８、60×７、60×６、60×５、60×４、60×３、60×２、は、それぞれ54の公倍数になっていますか？
９以外は、54を構成するパーツとして、間違っているか足りないはずですが。

カレーと肉じゃが、晩飯がどちらになっても無駄にならない最大限の材料だけを買ってこよう、というのが最大公約数。
カレーと肉じゃが、晩飯がどちらでも作れる最小限の材料を買ってこよう、というのが最小公倍数。
×９より小さい数だと、カレー(60)はできても肉じゃが(54)はできないのです。
たとえば、×７なんてのはハムかもしれません。どっちにも使わない。
×３は醤油かもしれませんが、肉じゃがには足りない。

なお、素因数分解するときは、共通素因数や共通因数が見えればそれはそれで結構ですが、そうで無い場合は、各々、片っ端から因数分解していくことです。
７や１３や１７なんかの倍数が見えにくいことがありますんで。

お礼

皆さんありがとうございます。

回答No.4

ORUKA1951

＞数式ではなく言葉で説明していただけるとありがたいです。
　数を話題にするときは、やはり数式が一番分かりや巣ですよ。

＞例えば60と54の最小公倍数を求めたい場合
　これは、とにかく思いついたものから割ってみましょう
　2) 60　　54　　　　一の位が偶数なので
　3) 30　　27　　　　各位の数を足すと3の倍数(3+0=3,2+7=9)なので
　　 10　　 9　　　　4.5以下の数字で割れる整数はない!!
と計算しますよね。
最小公倍数は、2*3*10*9 = 540
最大公約数は、2*3 = 6
　これを下から良く見ると、10*3*2 = 60　　9*3*2 = 54 となっていますね。
　もっとも簡単な公倍数は、60*54 = 3240 であることは明々白々ですよね。この3240を最大公約数(6)で割ると540、最小公倍数(540)で割ると6になります。
　最大公倍数とは、言い換えると、[数Ａ]×[数Ｂ]のうち、共通因数がないものですから、
[数Ａ]*[数Ｂ]/ [最小公約数] = [最大公倍数]
　　　　　　　　￣￣￣￣￣￣￣この場合、2と3を二回かけたらダメだよということ。
￣￣￣￣￣￣￣の中に2×3×(2×3)とあるのは多すぎる。

回答No.3

CC_T

最小でないなら、「共通する素因数」がもっと出てくる事になるのです。
言葉で説明ってのは難しいですね（－－；

幅も奥行きも同じで、高さがAの箱とBの箱があります。
さぁ、この２種類の箱をそれぞれに１つ以上使って、ピッタリ同じ形を作って下さいと言われたら、それぞれ幾つ必要なのか分かりますか？
簡単に考える方法があるんですね。それは、相手の高さと同じ数だけ奥に並べていくって方法。
幅は同じですから、こちらの高さはが向こうの奥行きに、向こうの高さがこちらの奥行きに等しくなったら、それは同じ形ですよね。

60と54の公倍数を求めるってのは、その最大公約数である６を横幅に持つ箱、つまり
Ａ：幅6cm、高さ10cm、奥行き1cm
B：6cm、高さ9cm、奥行き1cm
この箱を並べて同じ形を作れって問題と一緒です。
最小公倍数はそのうちで一番小さな形はどれかって問題ですね。

10と9の約数は１だけですから、最小の形はＡの箱を9個、Ｂの箱を10個並べたものになります。

回答No.2

chie65535

要は「素因数分解して、互いに共通な因数は片方だけにして、全部の因数を掛け算すると、最小公倍数になる」のだけど。

例えば、64と72.

64＝２×２×２×２×２×２

72＝３×３×２×２×２

共通の因数は「２×２×２」です。

64＝２×２×２×「２×２×２」

72＝３×３×「２×２×２」

共通の因数を片方だけ「２×２×２」と、残った因数「２×２×２」と「３×３」を全部掛け算して

２×２×２×２×２×２×３×３＝５７６

が、最小公倍数です。

単純に「４と６」で考えてみましょう。

両方を因数分解して「２×２」と「３×２」にして、共通因数の２を片方だけにして、全部を掛け算すると、２×２×３＝１２」で、最小公倍数は１２です。これを「（１）の考え方」とします。

ちょっと視点を変えて、両方をそのまま掛け算すれば「公倍数」なのは当たり前ですよね？

４×６＝２４

でも、これでは「最小」にはなりません。

「４も６も、両方とも２で割れる」ので、「２４」という公倍数を２で割った「１２」も、４でも、６でも割れます。

「４も６も、両方とも２で割れる」ってのは、言い換えれば「素因数分解すると、４にも６にも、どっちにも２が居る」って事です。

で、「両方に居る２を片方だけにして、残り全部を掛け算する」ってのは「両方をそのまま掛け算した２４を、２で割る」ってのと同じ意味です。これを「（２）の考え方」とします。

両方をまとめると、以下のようになります。

（１）の考え方

２×２（＝４）

３×２（＝６）
↓
両方に居る２を片方消す

２

３×２
↓
残りを全部掛け算

２×３×２＝１２

（２）の考え方

２×２（＝４）

３×２（＝６）
↓
とりあえず、両方を掛け算する

（２×２）×（３×２）＝２４
↓
両方が２で割れるから、両方に居る２で割る

（２×２）×（３×２）÷２＝２４÷２＝１２

前者の「共通の因数を片方消す」ってのと、後者の「両方に居る因数で割る」ってのは、どっちも同じ意味なので、同じ結果になるのは当たり前なんですけどね。

回答No.1

maiko0318

２つの数字の共通部分(2*3)を除外して違うところ(9,10)を反映した形です。