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数学Iのしつもんです
nを自然数とし、10のn乗は200!をわりきる。このようなnの最大値はなにか? という問題で解には10=5×2だから200を素因数分解したときの5の個数である。 とかいてありました。その理由が良くわかりません。なぜ2は関係ないのですか? 長時間かんがえても根本的にわからないのでくわしく教えてください。
- bitamin123456
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200の階乗が10のn乗で割りきれる為には、nが最大の時の粗因数の個数が一緒にならなければなりません。 こういう時は簡単な例で確認してみると良いと思います。 例えば、10! が割り切れる 6のn乗 10・9・8・7・6・5・4・3・2・1 を粗因数分解すると、 5・2・3・3・2・2・2・7・3・2・5・2・2・3・2・1 (※ 8、4 は2^3、2^2なのでその分は重複してカウントする) 一報6を粗因数分解すると 3・2 (n乗すると 粗因数の数はn倍) 10!の 粗因数 3 の個数は 4個 、 粗因数 2の個数は、 8個 なので n の最大はこの内小さい方ということになりますので4個。 試しに、10!を6^4 と6^8 で割ってみると後者では割り切れないことが分かります。 200!の粗因数5の個数は、下記の様にして求めることが出来ます。 200 ÷ 5 + 200 ÷ 5^2 = 48個 (5^kは重複してカウントする) 粗因数2の個数は、 (面倒くさいので計算してみてください。 200 ≧ 2^k となるまで、上の式の通りやれば出るはずですが、直観的も圧倒的に多いことは分かります。) なので、n=48。 ご参考に。
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- eco1900
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これが最後の【画像4枚目】です~、もってけドロボー^^A。 ・・・ってごめんね。ファイト!で頑張ってくださいね。 お疲れ様でした、そしてお粗末でした。ばいばい~^^v。
お礼
いやぁーーよくわかりました!! こんなに丁寧に画像まで載せていただいて 幸せです^^笑 ありがとうございました!!!
- eco1900
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この質問は表現を変えると次のようなことを質問しています。 「200!を展開すると10がいくつ掛けられているのか?」 と考えてもいいし・・・、 「200!を展開すると語尾にいくつ0が並んでいるのか?」 →ということで、「200!=200×199×…×2×1」とはしたくないですよね。 (暇すぎます^^!) →ということで、200!中に10のn乗=(2×5)のn乗がいくつあるのかを考えましょう。 (これでもかなり暇がかかりますね^^A!) 「理由がよく分からない・・・」とあったので、話が長くなりましたがごめんね。 結局のところ200!の中に(2×5)n乗=2のn乗・5のn乗としておいてnの正体を見破りましょう。 以下は、図にしておきます、良かったら参考にしてください^^v。 ちなみに・・・一枚の画像にすると見にくいと感じたので全部で4枚もあります^^A(暇過ぎ!)。
- nattocurry
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>解には10=5×2だから200を素因数分解したときの5の個数である。とかいてありました。 「200を」じゃなくて「200!を」の間違いですよね? 正確には、200!を素因数分解したときの、5の個数と2の個数の少ないほうである。が正解なんだけど、200!を素因数分解したら、明らかに、5の個数<2の個数、ですよね。 だから、それは説明しなくても解るだろう、ということで、単に「5の個数である」と書いてあるんだと思いますよ。
お礼
そういうことだったんですね! ありがとうございます。
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200!を因数分解したときに 5の個数と2の個数では圧倒的に5の個数のほうが少ないから。
お礼
回答ありがとうございました!
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お礼
例を使って説明していただいたことによって 悩みが解決しました!! 引っかかっていたものが解消されて 本当によかったです>< ありがとうございました!!