- ベストアンサー
数字の件で
- みんなの回答 （2）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
2m^2 を考えてみましょう。 mを素因数分解したときの素数の個数をsとしたわけです。2乗するのだから、素因数分解したときの素数の個数はその2倍になりますね。 例 m=2*3*5 （3個） m^2=2*3*5*2*3*5 (6個） なので、2m^2を素因数分解したときの素数の個数は、先頭の2も素数だから2s+1個あると言っているわけです。定理でも何でもありません。 さて、n^2の方はというと、nを素因数分解したときの素数の個数をtとしたわけですから、n^2を素因数分解したときの素数の個数は2tです。 で、2m^2=n^2 だとすると、左辺、右辺を素因数分解したときの素数の個数も等しくなくちゃいけない。 ところが、 2s+1は奇数で2tは偶数なので、ありえない。で、つらつら考えてみると、そもそも2m^2=n^2なる自然数m,n(普通は０は含めません） はないということを証明するための過程の一部かと思われます。
その他の回答 (1)
- stomachman
- ベストアンサー率57% (1014/1775)
m=0, n=0の場合には 2m^2 = n^2 が成立ちますが、このときm, nは素因数分解できません。m, nが0でない自然数である場合、両辺の平方根を取ると (√2)m = n すなわち √2 = n/m ですから、この式は「√2は有理数だ」ということを主張しています。しかしこれは偽の命題です。 つまり、話の前提条件がそもそも誤りです。
関連するQ&A
- 素因数分解の一意性？？？？？
m,n,p,qをすべて互いに素な自然数とした時に、 2^n・p^m=q^mにおいて、 素因数分解の一意性より、ｑは2の倍数である。 素因数分解の一意性ってどういうことなのでしょうか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 素因数分解の証明問題
素因数分解の証明問題 証明方法がわかりません。 自然数の素因数分解をn=(P_1)^e_1(p_2)^e_2・・・(p_r)^e_rとする。このとき、 φ(n)=n｛1-(1/p_1)｝｛1-(1/p_2)｝・・・｛1-(1/p_r)｝となることを示せ。 ただし、自然数m,nに対して、gcd(m,n)=1ならば、φ(mn)=φ(m)φ(n)であることを用いよ。 よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 余りと、余りの２乗の余りが一致する個数
まず、自然数Ｎで割ります。 すると、その余りは０～Ｎ－１までのＮ通りあります。 次に、その余りを二乗します。 そして、それぞれを再びＮで割ります。 そのとき、余りが、前の余りと同じになる個数が２のＭ乗あります。 そのＭは自然数Ｎを素因数分解したときの素数の種類の個数と一致します。 例えばＮ＝１０（＝２×５）のときは二つの余りが一致するのは０、１、５、６の、４個存在します。これはＮの素数の種類が２と５であるため、２の２乗と一致します。 しかし、なぜこのようなことがいえるのか、わかりません。また、もしかしたら、これはすべてにおいてはいえないかもしれません。 ですから、この証明、もしくは反例を教えていただけたらと思います。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 素数は無限に多く存在することの証明（ユークリッドの別証）を二つの添削
ユークリッドの証明は背理法を用いた証明。 素数を有限個とするならその最大素数をpnとして素数を小さい順にp1,p2,…,pnとした時 N=p1*p2*p3*…pn + 1 全ての自然数は素因数に分解できるのでｐ1～pnの少なくとも一つ因数に持つはずだが、どれで割っても1あまる。これはpnが最大の素数であることに矛盾 素数は無限に存在する。 といった証明。今回はこれの別称として以下の漸化式を用いたものを解けという問題です。 ◆a_{n}:=2^(2^n) + 1, n=1,2,3,… を用いた証明 この時任意のm≠nに対しa_{m}, a_{n}は互いに素である。実際n>mの時 a_{n} - 2 = 2^(2^n) - 1 ={2^2^(n-1) + 1}{2^2^(n-1) - 1} =a_{n-1}*(a_{n-1} - 2) =a_{n-1}*a_{n-2}*…*a_{m}*(a_{m} - 2) となるのでa_{m},a_{n}の公約数dは2の約数でなければならない。他方a_{m},a_{n}は奇数であるから（←漸化式より）d=1となる。すると各a_nを素因数分解すると少なくとも一つ素因子pnが得られ、これらはnが異なれば一致しない。かくして無限個の素数p1,p2,p3,…,pn,…が得られた□ ◆正整数の列a_nを次のように定める a_{n+1} = a_{n}*(a_{n} - 1) + 1, a_{1} = 2 これを用いて素数が無限であることを示すのですが 任意のm≠nに対して a_{n} - 1 = a_{n-1}*(a_{n-1} - 1) = a_{n-1}*a_{n-2}*(a_{n-2} - 1) = a_{n-1}*a_{n-2}*…*a_{m}*(a_{m} - 1) よりa_{n},a_{m}の公約数は1の約数でなければならない。よってa_{n},a_{m}は互いに素である。 すると各a_nを素因数分解すると少なくとも一つ素因子pnが得られ、これらはnが異なれば一致しない。かくして無限個の素数p1,p2,p3,…,pn,…が得られた□ これら2つの証明はこれであっているでしょうか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 素因数分解の問題
久々に素因数分解の問題を解いてみようとしたところ、いきなり躓いてしまいました。 二桁の整数ｎに１６８をかけると、ある数の二乗になりました。この整数ｎはいくらになるかという問題です。 １６８を素因数分解し、ｎ×１６８＝ｎ×２＾３×３×７となることは分かります。 これから先、どのように組み立てて解けばよいのか分かりません。 解説では、各素数が偶数個になるように解くと書かれており、ある数の二乗になるため、 ｎ＝２×３×７×ｍ＾２となっていました。 どうしてこのような式なるのですか？ A＝A＾p×ｂ＾q×c＾rとなっている時、各指数がすべて偶数（２の倍数）なっていれば、Aは何かの二乗になることは確かめてみました。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 中3数学です
受験対策の問題集で、どうしてもわからない問題があったのでお願いします。 問. nは250以下の自然数で、n/21をこれ以上約分できない分数にしたとき、分母が3になる。また、14nはある自然数の2乗になるという。このようなnをすべて求めなさい。 解答・解説 素因数分解を利用して考える。 n＝14×m^2 とすると、 n/21がこれ以上約分できない分数になるのは 21＝3×7 より、mが3の倍数でないときである。 m＝1、2、4 のとき n＝14、56、224 何度読んでも、n＝14×m^2 からわかりません。 14×n＝m^2ではないのでしょうか? 詳しく教えていただきたいです。
- 締切済み
- 数学・算数
- An<An+1の証明
An=(1+1/n)^n。この式を2項定理で分解して比較すると、(1)An<An+1がいえると教科書に書いてあります。 nは自然数です。 2項定理で分解してみましたが、よくわかりませんでした。 (2)(1+1/n)^n≦1+1/1!+1/2!+......+1/n! (3)k!≧2^k-1(k=2,3,......) この三つの式を証明できる方は教えていただけますでしょうか？ よろしくお願いいたします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 数学Iのしつもんです
ｎを自然数とし、１０のｎ乗は２００！をわりきる。このようなｎの最大値はなにか？ という問題で解には１０＝５×２だから２００を素因数分解したときの５の個数である。 とかいてありました。その理由が良くわかりません。なぜ２は関係ないのですか？ 長時間かんがえても根本的にわからないのでくわしく教えてください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ｎ^2－２０ｎ＋９１が素数となる整数ｎの値・・・
すごく、基本的な問題だと思うのですが、考え方に疑問があります。 ｎ^2－２０ｎ＋９１が素数となる整数ｎの値を求める問題です。 参考書の解説には、題式を因数分解して＝（ｎ－７）（ｎ－１３）とし、 Ｐが素数のとき、素因数分解したとき１×Ｐにしかならないので、 ｎ－７又はｎ－１３のどちらかが１ということで、 ｎ－７＝±１またはｎ－１３＝±１とおいています。 自分が分からないので、「±」です。素因数分解したとき１×Ｐにしかならないので、 ｎ－７＝１またはｎ－１３＝１とおいてしまいました。 なぜ、±１とおけるのかが分かりません。要は－１がどのようにして条件になるのかが理解 できていません。 そういうわけでございます。考え方の質問です。
- ベストアンサー
- 数学・算数
