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自然数nはいくつですか? の問題

問題 727,153を自然数nで割ったら余りがそれぞれ7と9でした。   自然数nは何個でしょうか?  解)商をq1 q2として,727=q1n+7 153=q2+9で表す。    720=q1n    144=q2n   素因数分解して,720=2^4×3^2×5           144=2^4×3^2   で・・・・・   このあとすぐに答えがでるとは思うのですが,わからなく・・。     またはこんなことしなくても解答でるかもしれません。  どのように考えればいいですか?

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素因数分解して,720=2^4×3^2×5、144=2^4×3^2 ここで、720は144の倍数ですから、144を割り切ることができる数は720も割り切ることができます。 ここで、144を割り切ることができる数=約数を考えます。 多分、高1の組み合わせのところで公式があったと思うんですが 144=2^4×3^2の約数の個数は、(4+1)(2+1)=15個 ここで,約数のうち9より大きいものを考えます。 なぜ、9より大きくなければならないかというと、 例えば、153を4で割って9余りがだったとします。 153=4×q1+9が成り立ちます。おかしいと思いませんか? 4で割ってるのに、余りが9とは。 この式はさらに変形して153=4(q1+2)+1 というふうに変形して、商q1+2、余り1と考えることができます。 『割る数>余り』が成り立つんです 問題の解答に戻ります。 15個のうち9より小さいものは、1,2,3,4,6,8,9の7個 よって15-7=8 答え8個となります。

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質問者からのお礼

なるいほどです。ありがとうございました。

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その他の回答 (2)

  • 回答No.3

ちなみに#1さんの答は2^4=16を見落としていますね。 #2さんのやり方は標準的で、現在ですと高校数学の教科書、数学Aのところによく例題などとしてのっている数え方が基本です。 たとえば素因数分解で(a^x)(b^y)(c^z)になる数の約数の総数は (x+1)y+1)(z+1)です。(+1は0乗の分)

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質問者からのお礼

ありがとうございます。本屋でみてみます。

  • 回答No.1
  • mrsara
  • ベストアンサー率18% (103/558)

書いてあるところまではあっています。 nは2^4X3~2の因数になります。 しかし注意しないといけないのはあまりが7,9ですから 9以下の自然数だと割れてしまいます。 なのでq>9となります。 なので解は、2*2*3=12,2*3*3=18,2*2*2*3=24,2*2*3*3=36 2*2*2*2*3=48,2*2*2*3*3=72,2*2*2*2*3*3=144 以上7個です。

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質問者からの補足

ごめんなさい、しかしからが・・・。 余りが7、9だと9以下の自然数で割り切れてしまうとは・・? ここが理解できると以下たぶん理解できるような気も・・。

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