素数は無限

質問

質問２点。

１．
「素数は無限に存在する」証明をwikipediaで調べると、
背理法で素数が無数にあることを証明した、
素数の積に1を加えた数が素数であることを証明した」などの誤解をする者がいるが、
いずれも正しくない

と書かれています。
wikipediaが常に真実とは限りませんが、
Google検索で素数の無限である証明で検索すると、上記の誤解している人による解説ばかりです。
何を（どちらを）信じればよいか分からずに困っています。

２．
wikipediaによる正しい証明によると、、、
素数の個数が有限と仮定し、p1, … pn が素数の全てとする。その積 P = p1 × … × pn に 1 を加えた数 P + 1 は、p1, …, pn のいずれでも割り切れないので、素数でなければならない。しかし、これは p1, …, pn が素数の全てであるという仮定に反する。よって、仮定が誤りであり、素数は無数に存在する。

これは、背理法による証明だと思うのですが、、、、

お手数ですが、よろしくお願いします。

回答No.4

ask-it-aurora · ベストアンサー

2点の質問は同一の勘違いによるものと思われるので，まとめて書きます．

あなたが読み落としているのはwikipediaにある文章の主語です．wikipediaに書かれていることはユークリッドは歴史的には背理法を使っていないというだけであって，背理法を使った証明が数学的に間違っているとは書いてありません．

お礼

ご回答ありがとうございます。
助かりました。

回答No.6

hashioogi

実例を一つ

2×3×5×7×11×13+1　=　59×509

回答No.5

中村 拓男（@tknakamuri）

真偽をそのまま書けばよいのかな

「背理法で素数が無数にあることを証明した」は正しくない は　本当。

多分「素数の個数が有限と仮定し、p1, … pn が素数の全てとする。その積 P = p1 × … × pn に 1 を加えた数 P + 1 は、p1, …, pn のいずれでも割り切れないので、素数でなければならない。しかし、これは p1, …, pn が素数の全てであるという仮定に反する。よって、仮定が誤りであり、素数は無数に存在する。」

は正しくないと言っているのでしょう。

「素数の積に1を加えた数が素数であることを証明した」は正しくない⇒本当。

回答No.3

DJ-Potato

2は正しいでしょう。

1は、ユークリッドさんが言ったコトを現代人が解説する時に、誤って紹介している、ということですね。

wikipediaによれば
ユークリッドさんは、
既知の素数の積に1を足したもの、それが素数であれば新たな素数の発見で、素数でないならば既知の素数以外で割り切れる訳なのでこれまた新たな素数の発見で、つまり素数は無限にあるよ。
と言っています。

この論法は、厳密には背理法とは違うのですが、全く同じ事を背理法でも表現できるため、そしてその方が感覚的にわかりやすいため、後世の人間がユークリッドさんの証明したことを説明する時には、背理法で証明した、と言い換えてしまうがこれは誤りだし、
任意の素数の積に1を足したものが素数となることを証明した、というのも誤りです。

お礼

ご回答ありがとうございます。

回答No.2

178-tall

>wikipediaによる正しい証明によると、、、
>素数の個数が有限と仮定し、p1, … pn が素数の全てとする。その積 P = p1 × … × pn に 1 を加えた数 P + 1 は、p1, …, pn のいずれでも割り切れないので、素数でなければならない。しかし、これは p1, …, pn が素数の全てであるという仮定に反する。よって、仮定が誤りであり、素数は無数に存在する。
　　　↑
この証明の含意は「その積 P は素数」じゃなくて、「その積 P は素数、または max {pk} を超える素数の (合成？) 積」なのでしょうネ。

回答No.1

中村 拓男（@tknakamuri）

で、質問は何でしょう？
疑問点を明確にしてください。