奇数を互いに素である2つの平方数の和で表す

質問

初等数論の下記の問題が解けずに悩んでいます。どなたか教えていただけませんでしょうか。できれば初等数論の範囲で教えていただければ助かります。

（問題）
kは奇数であり、k=p1*p2*...*pNと素数の積で表した場合に全てのp≡1 mod 4であるならば、k=s^2+t^2、ただしgcm(s,t)=1と表せることを証明せよ。

kが単なる自然数の場合、k=p1*p2*...*pNと素数の積で表した場合に全てのp≡1 mod 4であるならば、k=s^2+t^2に表せることは、平方剰余の相互法則(-1/p)=1 p≡1 mod 4とフェルマーの無限降下法を用いて証明できることは理解できます。しかしkが奇数の場合にgcm(s,t)=1となる場合が存在することが理解できません。
最初は必ずgcm(s,t)=1となるのかと思いましたが、そうではないようです。例えば845=13^2*5という奇数は、(13*2)^2+(13*1)^2と表せばgcm(s,t)≠1ですが、そのほかに22^2+19^2および29^2+2^2と表すことができ、これらの場合gcm(s,t)=1になります。

回答No.1

noname#95312

これは、「二次体K(i)、K(√-3)の整数」の問題で、
「p≡1(mod 4)なる有理素数pを二つの平方の和に分解する
ことができる。しかもこの分解はただ一様に限る」という定理
の逆の問題です。

P_1=x_1+i・y_1
P_2'=x_2-i・y_2 とすると、

P_1・P_2'=x_1・x_2+y_1・y_2-i・(x_1・y_2-x_2・y_1)
P_1・P_2'=4・z+1 であるためには、
虚数部が0でなければならず、先ず、

x_1・y_2=x_2・y_1 でなければならない。
x_2/x_1=y_2/y_1=k とすると
P_2'=P_2・P_3 として
P_1・P_2・P_3=k・(x_1+i・y_1)(x_1-i・y_1)=4・z+1

ここで、k=P_3 とした。このとき、k=4・q+1 と表わせるので
(4・q+1)・(x_1^2+y_1^2)=4・z+1

これが成り立つためには、x_1 と y_1 は
偶数-奇数の組み合わせでなければならない。 (a)

x_1=2・x_1'、y_1=2・y_1'+1 とすれば
(4・q+1)・(x_1^2+y_1^2)
=(4・q+1)・{4・x_1'^2+(2・y_1'+1)^2)}
=(4・q+1)・(4・x_1'^2+4・y_1'^2+4・y_1'+1)
=(4・q)・(4・x_1'^2+4・y_1'^2+4・y_1')
+(4・x_1'^2+4・y_1'^2+4・y_1')+4・q+1
=4・Q+1 と表わせる。
x_1=2・x_1'+1、y_1=2・y_1' とした場合も同様の結果を得る。

このとき、a=√{(4q+1)(x_1・x_2)}、b= √{(4q+1)(y_1・y_2)} とすると
a、b は、偶数-奇数なので互いに素である。
そして、
m=P_1*P_2*P_3=(4・q+1)・(x_1^2+y_1^2)
=(x_1+i・y_1)・(x_2-i・y_2)
=a^2+b^2 と表わせる。

お礼

pomposo様
　回答ありがとうございます。複素数を使って考える
ことができるのですね。