a^2+b^2=c^2を満たす互いに素な自然数a,b,cについて、cが

質問

a^2+b^2=c^2を満たす互いに素な自然数a,b,cについて、cが素数p,qを用いてc=p×qと表せるとき
m^2+n^2=p^2およびs^2+t^2=q^2を満たす互いに素な自然数も必ず存在し
a=ms-nt,b=mt+nsと表すことができるのではないかと
ピタゴラス数の表を見ていて思いました。
正しいでしょうか?

例えば、(a,b,c)=(33,56,65)のときc=65=5×13となるので
p=5,q=13となり、m=4,n=3,s=12,t=5とすると
a=4×12-3×5=33、b=4×5+3×12=56が成り立ちます。

但し、上記の書き方は曖昧さがあり、
mとnを交換した場合、sとtを交換した場合について言及できていません。
c=65=5×13の場合も、m=3,n=4,s=12,t=5とすると
a=3×12-4×5=16、b=3×5+4×12=63となり
(a,b,c)=(16,63,65)というもう1つの
互いに素な自然数の組み合わせができてしまいます。
組み合わせによっては負数になってしまうこともあります。

c=25=5×5の場合も成り立つようなので
p=qの場合も踏まえ標記の内容が正しいかどうかお教えください。
また、cが3つ以上の素因数の積で表せる場合はどうでしょうか?

回答No.1

yoikagari · ベストアンサー

結論から言うと、正しいと思います。

実は以下のようなことがいえます。

正の整数nがn=x^2 +y^2 (x,yは互いに素な正整数)とかける必要十分条件は
n=(p_1)^(k_1)*・・・*(p_k)^(h_k) (p_1，・・・，p_kは相異なる4で割ると1余る素数)
またはn=2(p_1)^(k_1)*・・・*(p_k)^(h_k) (p_1，・・・，p_kは相異なる4で割ると1余る素数)
であることがいえます。

詳しいことは、シュプリンガーフェアラーク東京から出版されている、G.H. ハーディ , E.M. ライト 著の 数論入門(I)と数論入門(II)に書いてあります。

上記命題を使うとa^2+b^2=c^2をみたすcの素因数は4で割ると1余るものに限定されます。
cの素因数pを考えると再び上記命題より、互いに素な正の整数s,tが存在してs^2+t^2=pとかけることがいえます。

また正の整数m,nがm=s^2+t^2，n=u^2+v^2とかけるとき
(ただし、s,t,u,vはs,tが互いに素かつu,vが互いに素になるような正の整数)
mn=(su+tv)^2+(sv-ut)^2とかけることより正しいことが証明できます。

お礼

もう一方の方でもお世話になっています。
回答ありがとうございました。