- ベストアンサー
a,b,p,qはすべて自然数で,aとbは互いに素であり、
a,b,p,qはすべて自然数で,aとbは互いに素であり、 (p^2+q^2)/a=(pq)/b をみたしている。 (1)pqはbで割り切れることを示せ。 これは、わかりました。 (2)√(a+2b)は自然数であることを示せ。 方針としては、√(a+2b)が平方数でることを示そうと 考えましたが、途中で挫折しました。 (1)から、pq=kb ・・(1)(kは自然数)とおくと p^2+q^2=ka ・・(2)となる。 (1)×2+(2)より、(p+q)^2=(a+2b)k・・(3) (2)-(1)×2より、(p-q)^2=(a-2b)k・・(4) (3)と(4)より、(p+q)^2*(p-q)^2=(a+2b)(a-2b)k^2 (a+2b)(a-2b)={(p+q)^2*(p-q)^2}/k^2 左辺は整数より、(a+2b)(a-2b)=s^2 sは自然数 とおける。 次に、(a+2b)と(a-2b)が互いに素だとa+2bは平方数がいえるのかと 思いましたが、できませんでした。解答がこの流れでいいのか、 また、別の視点が必要なのか、よろしくおねがいします。
- みんなの回答 (3)
- 専門家の回答
お礼
回答ありがとうございます。 (1), (2) から「p と q の共通因数が k に 2乗の形で入る」ことがわかる. ここは、理解できました。後の部分で つまり p と q がどちらも d (>1) の倍数なら k は d^2 の倍数になるので、 の部分で、「kはd^2の倍数になる」を「kはd^2の形である」と結論づけて良いのでしょうか。 いえれば、うれしいのですが。