a,b,p,qはすべて自然数で,aとbは互いに素であり、

質問

a,b,p,qはすべて自然数で,aとbは互いに素であり、
(p^2+q^2)/a=(pq)/b をみたしている。
(1)pqはbで割り切れることを示せ。
　　これは、わかりました。
(2)√(a+2b)は自然数であることを示せ。
方針としては、√(a+2b)が平方数でることを示そうと
　 考えましたが、途中で挫折しました。
　　(1)から、pq=kb ・・(1)(kは自然数)とおくと
　　p^2+q^2=ka ・・(2)となる。
(1)×2+(2)より、(p+q)^2=(a+2b)k・・(3)
　　(2)-(1)×2より、(p-q)^2=(a-2b)k・・(4)
　(3)と(4)より、(p+q)^2*(p-q)^2=(a+2b)(a-2b)k^2
(a+2b)(a-2b)={(p+q)^2*(p-q)^2}/k^2
左辺は整数より、(a+2b)(a-2b)=s^2 sは自然数　とおける。
　次に、(a+2b)と(a-2b)が互いに素だとa+2bは平方数がいえるのかと
　思いましたが、できませんでした。解答がこの流れでいいのか、
　また、別の視点が必要なのか、よろしくおねがいします。

回答No.2

Tacosan · ベストアンサー

あ, 申し訳ない, 勘違いしてた. a と b が互いに素でも, a+2b と a-2b が互いに素であるとは言えない (a が偶数, b が奇数のときどちらも偶数). ただ, その場合は元に戻せばわかるように a+2b と a-2b はいずれも 4 の倍数なので, それから素因数分解の一意性を使うという筋はあるかもしれない.
(3) から別方向に進む筋だと, (1), (2) から「p と q の共通因数が k に 2乗の形で入る」ことがわかる. つまり p と q がどちらも d (>1) の倍数なら k は d^2 の倍数になるので, p と q は互いに素と仮定してかまわない. そのとき条件から k=1 がいえて a+2b = (p+q)^2 は平方数, と.

お礼

回答ありがとうございます。
(1), (2) から「p と q の共通因数が k に 2乗の形で入る」ことがわかる.
ここは、理解できました。後の部分で
つまり p と q がどちらも d (>1) の倍数なら k は d^2 の倍数になるので、
の部分で、「kはd^2の倍数になる」を「kはd^2の形である」と結論づけて良いのでしょうか。
いえれば、うれしいのですが。

回答No.3

Tacosan

「k は d^2 の形である」ってどういうことだろう? d は当然に直前の d だから, 具体的な数値を入れると (たとえば d=3 なら) 「k は 9 の形である」とかいうことになっちゃうけど, いくらなんでもこの表現がおかしいことは理解してもらえると思う.
これを「k は平方数」という意味に解釈したとしても, 今の文言のままではダメ. あくまで「k は p と q の共通因数の 2乗を約数に持つ」としか言えない. もちろん実際には k は平方数なんだけど, p と q が互いに素なら k=1 になってしまう (そしてそのとき (3)式から a+2b が平方数であることは容易に言える) のでわざわざ平方数という必要もない.

お礼

回答ありがとうございます。
やっぱり言えるのは、「k は p と q の共通因数の 2乗を約数に持つ」
ということまででしたか。
pq=kb,p^2+q^2=ka の２つの式からはなにも分からないと思いましたが、
kについての条件がでてくるとは、目からうろこでした。
ありがとうございました。

回答No.1

Tacosan

そこから素因数分解の一意性を使って終わり. (3) から別方向に分岐することもできるけど今の方針が最も簡単かな.
細かいけど「√(a+2b)が平方数であることを示そう」というのはおかしい. 「a+2b が平方数であることを示す」なら正しい.

お礼

回答ありがとうございます。
方針としてはa+2bとa-2bが互いに素であることを示せればよいということですが、
まだ、解決には至っていません。もう少し、この方針で考えてみたいと思います。