(C[a,b] , || ||_∞）

質問

{φn}をC[a,b] のCauchy点列とする。
　t∈[a,b]に対して　αt = lim[n→∞] αｎ(t)　とする。
　[a,b]上の関数φをφ(t)＝αtと定義すれば
　α∈C[a,b]になることの証明と　||φnーφ||_∞　→０　を示す。

という問題なのですが、本などを調べながら考えた結果、

∀ε>０、∃N,　ｎ≧N　⇒　max[a≦t≦b]|φm(t)－φn(t)|＜ε
と
φn(t)　→　αt＝φ(t)　（ｎ→∞）

から
∀ε>０、∃N,　ｎ≧N　⇒　max[a≦t≦b]|φn(t)－φ(t)|＜ε

を言えばいいのでしょうか。　
無限に行くって所は消えていいんでしょうか？

あとは、上記のことがいえれば、　→０　はいえる気がするのですが・・・

回答No.3

uzumakipan · ベストアンサー

こんばんは。この問題はC[a,b]の完備性を証明する問題です。つまりC[a,b]は一様ノルムにおいてBanach空間であることを証明する問題です。

さて、{φn}をC[a,b]の任意のCauchy列とする。Cauchy列の定義より

∀ε>０、∃N>0,　m,ｎ≧N　⇒　max[a≦t≦b]|φm(t)－φn(t)|＜ε

したがって、

|φm(t)－φn(t)|＜ε　　for all t∈[a,b]

ゆえに{φn(t)}は実数体Ｒ（もしくは複素数体Ｃ）のCauchy列である。Ｒ（もしくはＣ）は完備であるからCauchy列は収束し、

φ(t)=lim_{n→∞}φn(t) t∈[a,b]

が存在する。この部分が重要であり、質問者さんが理解できていない部分です。きちんと理解してください。

さて、ここかからが問題の解答です。

||φnーφ||_∞　→０　であること。

∀ε>０、∃N>0,　m,ｎ≧N　⇒　max[a≦t≦b]|φm(t)－φn(t)|＜ε

したがって、

|φm(t)－φn(t)|＜ε　for all t∈[a,b]

ゆえにm→∞として

|φ(t)－φn(t)|＜ε　for all t∈[a,b]

tは任意であるから、

max[a≦t≦b]|φ(t)－φn(t)|=||φ－φn||_∞＜ε

よって、||φn－φ||_∞　→０　である。

次に示すことは、このφ(t)がC[a,b]に含まれること。

そのためにはφ(t)が[a,b]上の連続関数であることを示せばよいです。

tを[a,b]の任意の数とする。s∈[a,b]をtの近傍に含まれる数とし、s→t　⇒　φ(s)→φ(t)　を示す。

∀ε>０、∃N>0,　m,ｎ≧N　⇒　max[a≦t≦b]|φm(t)－φn(t)|＜ε　…（※）

したがって、

|φm(t)－φn(t)|＜ε　

ゆえにm→∞として

|φ(t)－φn(t)|＜ε　…（ア）

先ほどのε>０に対して、適当なδ>0が存在して　n>N　に対して

|s-t|<δ　⇒　|φn(s)－φn(t)|＜ε …（イ）

が成り立つ。（※）より

|φ(s)－φn(s)|＜ε　…（ウ）

でもあるから

|φ(s)-φ(t)|≦|φ(s)-φn(s)|+|φn(s)－φn(t)|+|φn(t)－φ(t)|
　　　　　　　<ε＋ε＋ε=3ε（（ア）（イ）（ウ）より）

したがって、φ∈C[a,b]である。

回答No.2

koko_u_

>[a,b]上の関数φをφ(t)＝αtと定義すれば

よくわかりませんが、αt = lim_{n→∞} α_n(t) は lim_{n→∞} φ_n(t) の誤記ですか？

まずは φ_n が Cauchy 列であるとの仮定から、すべての t ∈ [a, b] に対して、
lim_{n→∞} φ_n(t) が存在することを証明しましょう。

補足にどうぞ。

補足

あー、そうです。　記号がごっちゃになってました。
αt= lim[n→∞]φn(t) です。

＞すべての t ∈ [a, b] に対して、
＞lim_{n→∞} φ_n(t) が存在することを証明

ええっと、∀ｔ∈[a,b]に対して
｜φm(t)-φn(t)| ≦　max[a≦t≦b] |φm(t)-φn(t)| ＝　||φm－φn||_∞

だから、数列｛φn(t)｝はF内のCauchy列になる。（つまり収束する）
ってのであってるでしょうか？

そこから、
「　[a,b]上の関数φを　φ(t)＝αt　と定義すればφ∈C[a,b]　になる」
　と書かれてるのですが、連続性をいうには質問で書いた流れであってるでしょうか？

回答No.1

uzumakipan

こんばんは。この問題は説明不足の部分がありますね。
2行目の
＞　t∈[a,b]に対して　αt = lim[n→∞] αｎ(t)　とする。

αtとαn(t)の定義が抜けています。きちんと説明してください。

多分、αtとおかなくても、

φ(t)＝lim_{n→∞}φn(t) t∈[a,b]

としてφ(t)を定義すればよいと思いますが…。

補足

NO２の補足に書いたとおり、　αn(t)は　φ(t)　の誤記でした。
すみません。
確かに、αtと新たな記号を使う必要はない気もしますが、説明にそのように書かれていたので・・・。

結局、その辺りも曖昧にしか分かってないのですが、連続性の所がよく分からなくて・・・