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(C[a,b] , || ||_∞)

{φn}をC[a,b] のCauchy点列とする。  t∈[a,b]に対して αt = lim[n→∞] αn(t) とする。  [a,b]上の関数φをφ(t)=αtと定義すれば  α∈C[a,b]になることの証明と ||φnーφ||_∞ →0 を示す。 という問題なのですが、本などを調べながら考えた結果、 ∀ε>0、∃N, n≧N ⇒ max[a≦t≦b]|φm(t)-φn(t)|<ε と φn(t) → αt=φ(t) (n→∞) から ∀ε>0、∃N, n≧N ⇒ max[a≦t≦b]|φn(t)-φ(t)|<ε を言えばいいのでしょうか。  無限に行くって所は消えていいんでしょうか? あとは、上記のことがいえれば、 →0 はいえる気がするのですが・・・

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回答No.3

こんばんは。この問題はC[a,b]の完備性を証明する問題です。つまりC[a,b]は一様ノルムにおいてBanach空間であることを証明する問題です。 さて、{φn}をC[a,b]の任意のCauchy列とする。Cauchy列の定義より ∀ε>0、∃N>0, m,n≧N ⇒ max[a≦t≦b]|φm(t)-φn(t)|<ε したがって、 |φm(t)-φn(t)|<ε  for all t∈[a,b] ゆえに{φn(t)}は実数体R(もしくは複素数体C)のCauchy列である。R(もしくはC)は完備であるからCauchy列は収束し、 φ(t)=lim_{n→∞}φn(t) t∈[a,b] が存在する。この部分が重要であり、質問者さんが理解できていない部分です。きちんと理解してください。 さて、ここかからが問題の解答です。 ||φnーφ||_∞ →0 であること。 ∀ε>0、∃N>0, m,n≧N ⇒ max[a≦t≦b]|φm(t)-φn(t)|<ε したがって、 |φm(t)-φn(t)|<ε for all t∈[a,b] ゆえにm→∞として |φ(t)-φn(t)|<ε for all t∈[a,b] tは任意であるから、 max[a≦t≦b]|φ(t)-φn(t)|=||φ-φn||_∞<ε よって、||φn-φ||_∞ →0 である。 次に示すことは、このφ(t)がC[a,b]に含まれること。 そのためにはφ(t)が[a,b]上の連続関数であることを示せばよいです。 tを[a,b]の任意の数とする。s∈[a,b]をtの近傍に含まれる数とし、s→t ⇒ φ(s)→φ(t) を示す。 ∀ε>0、∃N>0, m,n≧N ⇒ max[a≦t≦b]|φm(t)-φn(t)|<ε …(※) したがって、 |φm(t)-φn(t)|<ε  ゆえにm→∞として |φ(t)-φn(t)|<ε …(ア) 先ほどのε>0に対して、適当なδ>0が存在して n>N に対して |s-t|<δ ⇒ |φn(s)-φn(t)|<ε …(イ) が成り立つ。(※)より |φ(s)-φn(s)|<ε …(ウ) でもあるから |φ(s)-φ(t)|≦|φ(s)-φn(s)|+|φn(s)-φn(t)|+|φn(t)-φ(t)|        <ε+ε+ε=3ε((ア)(イ)(ウ)より) したがって、φ∈C[a,b]である。

その他の回答 (2)

  • koko_u_
  • ベストアンサー率18% (459/2509)
回答No.2

>[a,b]上の関数φをφ(t)=αtと定義すれば よくわかりませんが、αt = lim_{n→∞} α_n(t) は lim_{n→∞} φ_n(t) の誤記ですか? まずは φ_n が Cauchy 列であるとの仮定から、すべての t ∈ [a, b] に対して、 lim_{n→∞} φ_n(t) が存在することを証明しましょう。 補足にどうぞ。

puyo1729
質問者

補足

あー、そうです。 記号がごっちゃになってました。 αt= lim[n→∞]φn(t) です。 >すべての t ∈ [a, b] に対して、 >lim_{n→∞} φ_n(t) が存在することを証明 ええっと、∀t∈[a,b]に対して |φm(t)-φn(t)| ≦ max[a≦t≦b] |φm(t)-φn(t)| = ||φm-φn||_∞ だから、数列{φn(t)}はF内のCauchy列になる。(つまり収束する) ってのであってるでしょうか? そこから、 「 [a,b]上の関数φを φ(t)=αt と定義すればφ∈C[a,b] になる」  と書かれてるのですが、連続性をいうには質問で書いた流れであってるでしょうか? 

回答No.1

こんばんは。この問題は説明不足の部分がありますね。 2行目の > t∈[a,b]に対して αt = lim[n→∞] αn(t) とする。 αtとαn(t)の定義が抜けています。きちんと説明してください。 多分、αtとおかなくても、 φ(t)=lim_{n→∞}φn(t) t∈[a,b] としてφ(t)を定義すればよいと思いますが…。   

puyo1729
質問者

補足

NO2の補足に書いたとおり、 αn(t)は φ(t) の誤記でした。 すみません。 確かに、αtと新たな記号を使う必要はない気もしますが、説明にそのように書かれていたので・・・。 結局、その辺りも曖昧にしか分かってないのですが、連続性の所がよく分からなくて・・・