a^b^c^・・・

質問

正数列(a_n)が与えられていて1に収束するとします。

b_1=a_1
b_n={b_(n-1)}^a_n(n≧2)
によって数列(b_n)を定めるとします。

(b_n)が収束しない(a_n)の例はありますか？

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

所与の漸化式より、log log b_n = (log log a_1) + Σ(log a_k) です。
log a_n → 0 ですから、これは、結局
0 収束するが Σ は収束しない数列は在るか？という質問です。
log a_n = 1/n などが、その例になるでしょう。

お礼

ありがとうございました。

回答No.2

ereserve67

帰納的にb_n>0だから

l_n=log(b_n)

とおくと

log(b_n)=log(b_{n-1}^{a_n})

=a_nlog(b_{n-1})

l_1=log(a_1)
l_n=a_nl_{n-1}

∴l_n=a_na_{n-1}・・・a_2l_1

∴b_n=e^{l_n}=e^{a_na_{n-1}・・・a_2a_1log(a_1)/a_1}
=e^{a_na_{n-1}・・・a_2a_1log(a_1^{1/a_1})}
=(a_1^{1/a_1})^{a_na_{n-1}・・・a_2a_1}

ここでa_n=(n+1)/nとおくと正数列{a_n}は1に収束します．そして

a_na_{n-1}・・・a_2a_1

=(n+1/n){(n/(n-1)}{(n-1)/(n-2)}・・・(2/1)

=n+1

∴b_n=(√2)^{n+1}

これはあきらかに正の無限大に発散します．

例：a_n=(n+1)/n

お礼

ありがとうございました。