数列{a_n}、{b_n}が、a_n=s^n, b_n=r^n(n=1

質問

数列{a_n}、{b_n}が、a_n=s^n, b_n=r^n(n=1,2,3,,)　０＜s＜r＜1 で与えられている時、
Σ∞_(n=1) a_(n)b_(n) = 1/3 , Σ∞_(n=1) a_(n)/b_(n) = 3
を満たすとする。この時、s+rの値を求めよ

回答No.1

proto · ベストアンサー

a[n] = s^n
　　b[n] = r^n
より、
　　a[n]*b[n] = (s*r)^n
　　a[n]/b[n] = (s/r)^n
もまた等比数列となる。

等比数列の和の極限は公式により求められるから、
　　Σ[n=1~∞]{a[n]*b[n]} = 1/3
より
　　s*r = 1/2
が分かり、
同様に
　　Σ[n=1~∞]{a[n]/b[n]} = 3
より
　　s/r = 3/4
が分かる。

二つの未知数s,rに対して、二式
　　s*r = 1/2
　　s/r = 3/4
が得られたから、あとはs<rという条件を加え、連立方程式を解くことでs,rの値が求まる。

お礼

ありがとうございました。