数列｛a_n｝がa_1=1、a_n+1=√a_n/2（ｎ＝１、２、３・・・）で定義されている

質問

数列｛a_n｝がa_1=1、a_n+1=√a_n/2（ｎ＝１、２、３・・・）で定義されている。

（１） b_n=log_2×a_nと置く時、b_n+1=[あ]/[い]（b_n-[う]）となり

b_n=2^[え]-n ー[お] となる。

あいうえおを求めよ。

数列｛a_n｝がa_1=1、a_n+1=√a_n/2（ｎ＝１、２、３・・・）で定義されている。

（１） b_n=log_2×a_nと置く時、b_n+1=[あ]/[い]（b_n-[う]）となり

b_n=2^[え]-n ー[お] となる。

あいうえおを求めよ。

（２） P_n=1/a_1×a_2×a_3・・・×a_nと置く時

log_2×P_100＝[か]＋２＾[き] となるのでP_100は[く]となる

かきくを求めよ

チャート式で調べてもわかりません＞＜解法と解答を教えてください

回答No.3

R_Earl

> （１） b_n=log_2×a_nと置く時、b_n+1=[あ]/[い]（b_n-[う]）となり

「b_n = log_2(a_n)と置く」と書いてあるということは、
何とかしてlog_2(a_n)を作り、それをb_nと置けば良いんです
(log_2(a_n)がb_nなら、log_2(a_(n+1))はb_(n+1)になります)。

今回は他に「a_(n+1)=√a_n/2」しか与えられていないので、
この式から無理矢理log_2(a_(n+1))やlog_2(a_n)を作れば良いです。

<ヒント>
左辺 = 右辺
なら、
log_a(左辺) = log_a(右辺)
が成り立ちます(底aは0, 1以外の正の数なら何でも良いです。a = 2でも、a = 10でもOKです)。
この操作を「両辺の対数をとる」と言ったりします。
例えばy = x^2 - 2x + 6の両辺の対数をとると
log_a(y) = log_a(x^2 - 2x + 6)
となります。

対数を習いたてだと、このテクニック(?)をあまり知らないのかもしれません。
<ヒントここまで>

なんとかb_nやb_(n+1)が作れれば、見慣れた漸化式が出てくるはずです(b_nの漸化式です)。
そうするとb_nの一般項が求められます。
ANo.2の方が仰る通り、b_nの一般項が求められればb_n = log_2(a_n)の関係式からa_nが求められます。

回答No.2

arrysthmia

チャート式で調べようとした事が見当違い。
類題の模範解答を思い出そうとする前に、
問題文自体に含まれているヒントに素直に従う
癖をつけたほうが良い。

(1)
b_n = log_2( a_n ) を a_n = … の形に変形して、
a_n の漸化式と併用すれば、b_n の漸化式ができる。
そっちの漸化式のほうが解きやすいよ　というのが、
問題の出題者がワザワザくれたヒントだ。
b_n が解れば、後で a_n は解る。

(2)
P_n を求めようとせずに、直接 log_2( P_n ) の一般項を
a_n を使って表すことを考える。
(1) が解けていれば、log_2( P_n ) が n の式で表せる。

回答No.1

info22

このサイトは問題をそのまま丸投げして、回答者に解答してもらう所ではないですよ。
自力解答を作って、解答のプロセスを補足に書いて、その中で行き詰った箇所が出てきたらその箇所だけ質問して下さい。