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数列の問題です。
a(1)=1、a(2)=4,a(n+2)=4a(n+1)-3a(n)-2で定義される数列{a(n)}ついて初めて1000より大きくなるのは第何項かという問題で 解答にa(n+1)-a(n)=b(n)とおき a(n)=a(1)+Σ2・3^K-1+1から 1+2×3^n-1 -1/2 +(n-1)となっているんですがΣは階差数列でnではなくn-1なので3^n-1 -1/2のとこは3^(n-1)-1 -1/2の間違えなのではないでしょうか?もし僕に間違えがあるのであればどうか教えてください。
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- kumipapa
- ベストアンサー率55% (246/440)
b(n) = 2・3^(n-1) + 1 が得られて a(n) = a(1) + Σ[k=1,n-1]b(k) = 1 + 2 Σ[k=1,n-1]3^(k-1) + (n - 1) までは良しとして、質問者さんの疑問は、 Σ[k=1,n-1]3^(k-1) = {3^(n-1) - 1}/2 のところがおかしい、{3^(n-2) - 1}/2 ではないのか、ということですよね。 {3^(n-1) - 1}/2 が正しいです。ちょっと勘違いしているだけでしょう。 等比数列の和の公式の導出に戻って、 S = Σ[k=1,n-1]3^(k-1) とおくと、 S = 1 + 3 + 3^2 + .... + 3^(n-3) + 3^(n-2) 3S = 3 + 3^2 + ..... + 3^(n-2) + 3^(n-1) より 2S = 3^(n-1) - 1 S = {3^(n-1) - 1}/2 公式は Σ[k=1,k=n] a(1) r^(k-1) = a(1) {r^n - 1}/(r -1) でしたね。加算範囲がnまでなら r^n が出てくるし, 加算範囲がn-1までだから r^(n-1) でしょ?
- debut
- ベストアンサー率56% (913/1604)
>1+2×3^n-1 -1/2 +(n-1) は、1+2{3^(n-1)-1}/2+(n-1)ですよね? 等比数列のn項までの和は a(r^(n)-1)/(r-1) なので、 階差数列ということで、ちゃんとn-1項までの和になって いるのではないですか?
最後の3行の意味が理解出来ません。 私が計算した最終結果は a_n=3^(n-1)+n-1 です。