収束S_(n+1)=S_n+log(a-S_n)

質問

S_1=log a として
S_(n+1)=S_n+log(a-S_n)
とすると
{S_n}が収束することを示せという問題なのですが、
とき方としては、
まず問題文よりa>0またすべてのｎにおいてa-(S_n)>0
これを変形してa>S_n　よって、S_nは上に有界である。…(1)

ここでf(x)=x-logxを考える(0<x)
f '(x)=1-1/xであるためf(x)の最小値はf(1)=1であることがわかる。…(2)

任意のｎに対し
S_(n+1)
=S_n+log(a-S_n)
=S_n+log(a-S_(n-1)-log(a-S_(n-1))
Y=a-S_(n-1)
とおいて代入すると
=S_n+log(Y-logY)
２の結果より
1)Y≠１
log(Y-logY)>0になるので、すべてのｎにおいてS(n+1)>S(n)となり、(1)とあわせ、数列は収束する
2)Y=1
log(Y-logY)=0になり、S_(n+1)=S_nとなる。この場合はすべての項が同じになる。
よって数列{S_n}は収束する
収束値LはL=L+log(a-L)⇔log(a-L)=1⇔L=a-1である。

で回答の方針はあってますか？何か間違いがあったら指摘お願いします。まったく見当違いな解答でしたら、正しいやり方のヒントお願いします。

回答No.2

alice_44 · ベストアンサー

方針は悪くないとは思うのですが、
a-Sn＞0 には根拠が必要でしょう。
質問文中の解答では、問題文のどこから
それが出てきたか示されていないし、
意地悪く読むと、漸化式の真数条件から
引っぱりだしたようにも受け取れます。
もし、本当にそう考えたのだとしたら、
証明としては×です。
あの漸化式で n→∞ まで破綻なく
続けられるかどうかは、問題文中に
証明がつけてありません。

お礼

遅れてごめんなさい　回答ありがとうございます

>、漸化式の真数条件から
引っぱりだしたようにも受け取れます。

真数条件から導きました。

>あの漸化式で n→∞ まで破綻なく
続けられるかどうかは、問題文中に
証明がつけてありません。

そのことは考えていませんでした。

aについては、a≦0だと問題が成立しないから、真数条件で導いても大丈夫でしょうか？

質問文中の
=========================================================
S_(n+1)
=S_n+log(a-S_n)
=S_n+log(a-S_(n-1)-log(a-S_(n-1))
Y=a-S_(n-1)
とおいて代入すると、
=S_n+log(Y-logY)
==========================================================
から、Y>0とするとY-logYが質問文中の議論から1未満をとることはない。
またS_1=loga>0でS_2=S_1+log(a-loga)でaは真数条件より0以上なので、S_2≧S_1>0
ということを数学的帰納法でしっかり書けば、S_nは無限に続き広義の単調増加。
無限に続く説明はこれで大丈夫でしょうか？

ひとつ不明な点があるのですが、logの真数部分が正でない場合、数列は破綻して続かないのでしょうか？それとも、logの部分は値なしでつづくのでしょうか？

つまり（仮定の話ですが）a-(S_k)=-1とかになってしまった場合、S_(k+1)=S_k+log(a-S_k)⇔S_kになるのか、それともlog(a-S_k)が値を取れないので、S_kで数列は終わり、S_(k+1)もそれ以降の項もないということなのでしょうか？

回答No.1

noname#153489

基本的な方針はいいと思います。
ただ、「Yが～の場合、全てのnについて～」という議論は
ちょっとだけ変です。
（a-S_1>0より全てのnについてというならまだ分かるんですが。）
もっと簡単に
Y_n=a-S_nをつくっておいて(2)から全てのnについてS_(n+1)≧S_nであること
（広義の単調増加）を示す形でもいい気がします。
同じような考え方でa≧S_nも示せるわけで、せっかくだから示すといいでしょう。
（a>0は許すとして。）

お礼

回答ありがとうございます。Y≠１のときは増加、Yが１のときは同じ、として、広義の単調増加ということでしょうか？　広義の単調増加でも有界であれば収束するのでしょうか？