Re(s)>1,{1/n^s}が広義一様収束?

質問

Re(s)>1, f_n(s):=1/n^sの時, 関数列{f_n(s)}が広義一様収束
となる事を示したしたいのですが

どのようにすれば示せますでしょうか?

一応,広義一様収束の定義は
「D⊂C, f_n,f:D→Cとする。{f_n}がfにD上広義一様収束する
⇔ ∀D'∈{D';D⊃D'は有界閉集合}, lim_{n→∞}sup{|f_n(z)-f(z)|∈R;z∈D'}=0」
だと思います。

回答No.3

alice_44 · ベストアンサー

あぁ…
級数じゃなくて、項の極限ですね。
最近、ここのカテゴリーでよく
ゼータ関数がらみの質問を見かけるので、
勘違いしました。失礼。
それなら、優級数定理は必要なくて、
0 ＜ ｜1/nのs乗｜ ＜ 1/nのt乗 から、
ハサミウチの定理を使うだけです。

お礼

どうも有難うございました。お蔭様で解決できました。

回答No.2

alice_44

s∈D' における Re(s) の下限を r とすると、
1 ＜ t ＜ r となるような定数 t がとれる。
この t について、｜1/nのs乗｜ ＜ 1/nのt乗
が成り立つ。
ここが、前述の「Re(s) について単調減少」の意味。
よって、Σ1/nのt乗 が収束するならば、
優級数収束定理により、
Σ1/nのs乗 は、s∈D' で一様絶対収束する。
すなわち、s∈D では広義一様収束することになる。

お礼

ありがとうございます。

> s∈D' における Re(s) の下限を r とすると、

{s∈C;Re(s)>1}は開集合だから有界閉集合D'が採れD'は有界だから下限rが存在し,

> 1 ＜ t ＜ r となるような定数 t がとれる。

実数の稠密性からそのような定数tが採れますね。

> この t について、｜1/nのs乗｜ ＜ 1/nのt乗
> が成り立つ。

納得です。

> ここが、前述の「Re(s) について単調減少」の意味。
> よって、Σ1/nのt乗 が収束するならば、
> 優級数収束定理により、

優級数収束定理とは
「φ≠A,B⊂Cで{f_n}がAからBへの関数列とする。この時
∃{M_n}⊂C;∀n∈N,∀z∈Aに対して,|f_n(z)|≦M_n且つΣ_{n=1}^∞M_n∈C⇒Σ_{n=1}^∞f_n(z)はA上で絶対一様収束する。特にこのΣ_{n=1}^∞M_nをf_n(s)のmajorant級数と呼ぶ」
ですよね。

> Σ1/nのs乗 は、s∈D' で一様絶対収束する。
> すなわち、s∈D では広義一様収束することになる。

今,級数Σ_{n=1}^∞ 1/n^sの広義一様収束ではなく,関数列{1/n^s}の広義一様収束を示しているのですが、、、
どうすれば関数列{1/n^s}の広義一様収束が言えますでしょうか?

回答No.1

alice_44

その級数の絶対級数は、Re(s)＞1 の範囲で
Re(s) について単調減少する。
これで十分では？

お礼

> その級数の絶対級数は、

これはΣ_{n=1}^∞|1/n^s|の事でしょうか?

> Re(s)＞1 の範囲で
> Re(s) について単調減少する。

"Re(s)について単調減少する"とはどういう意味なのでしょうか?

すいません。もう少し詳しくお願い致します。