Σ[n=1..∞]√n/(1+nx)^2は[a,∞)(∀a>0)で一様収束するが(0,∞)では一様収束しない事を示せ

質問

こんにちは。

[問]Σ[n=1..∞]√n/(1+nx)^2は[a,∞)(∀a>0)で一様収束するが(0,∞)では一様収束しない事を示せ。
[証]
(i) a≦x<1の時
0<∀ε∈R,∃n_1∈N;(∀x,n_1<n⇒|Σ[k=1..n]√k/(1+kx)^2-L|<ε)
(但し,L:=Σ[n=1..∞]√n/(1+nx)^2)
(ii) x=1の時
0<∀ε∈R,∃n_2∈N;(∀x,n_2<n⇒|Σ[k=1..n]√k/(1+kx)^2-L|<ε)
(iii) x>1の時
0<∀ε∈R,∃n_3∈N;(∀x,n_3<n⇒|Σ[k=1..n]√k/(1+kx)^2-L|<ε)
を示し,n_0:=max{n_1,n_2,n_3}と採れば
0<∀ε∈R,∀x∈[a,∞),n_0<n⇒|Σ[k=1..n]√k/(1+kx)^2-L|<ε
が言えるのですがn_1,n_2,n_3をどのように採ればいいのかわかりません。
どのように採れますでしょうか?

あと、後半については0<∀ε∈R,xを十分小さく取れば∀n∈N⇒Σ[k=1..n]√k/(1+kx)^2>ε
を言えばいいのだと思いますがxをどのように小さく採ればいいのでしょうか?

回答No.2

uzumakipan · ベストアンサー

こんばんは。＃１さんが指摘されていらっしゃるように、質問者さんの回答は定義を書いているだけです。この方針で回答を導くのは無理だと思います。

[a,∞)で一様収束すること

任意のx∈[a,∞)に対して

(1+nx)^2≧(1+na)^2
　　　　 　＝1+2na+n^2a^2
　　　　 　≧n^2a^2

であるから、

Σ[n=1…∞](√n)/(1+nx)^2≦Σ[n=1…∞](√n)/(na)^2
　　　　　　　　　　　　　　　 　≦1/a^2Σ[n=1…∞](√n)/n^2
　　　　　　　　　　　　　　　 　＝1/a^2Σ[n=1…∞]1/n^(3/2)

Σ[n=1…∞]1/n^(3/2)は収束するから、Weierstrassの優級数の定理よりΣ[n=1…∞](√n)/(1+nx)^2は一様収束する。

(0,∞)で一様収束しないこと

一様収束すると仮定する。十分小さい任意のε>0に対して、適当な番号N>0が存在する。
N<nに対して、x=1/(2n)とすると

Σ[k=n+1…2n](√k)/(1+k・1/(2n))^2≧Σ[k=n+1…2n](√k)/(1+2n・1/(2n))^2
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　≧n×(√(n+1))/4
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＞ε

となって矛盾となる。
したがって、Σ[n=1…∞](√n)/(1+nx)^2は(0,∞)で一様収束しない。

※一般的に関数列の一様収束性を定義に基づいて示すことは困難です。そのため、Weierstrassの優級数の定理等を用いて示すのが常道です。(0,∞)で一様収束しないことを示すのにはCauchy列の条件を使っています。
質問者さんがしっかり勉強してくれることを望みます。

お礼

ご回答誠に有難うございます。

一様収束だと仮定してみると

> [a,∞)で一様収束すること
>
> 任意のx∈[a,∞)に対して
>
> (1+nx)^2≧(1+na)^2
> 　　　　 　＝1+2na+n^2a^2
> 　　　　 　≧n^2a^2
>
> であるから、

納得です。

> Σ[n=1…∞](√n)/(1+nx)^2≦Σ[n=1…∞](√n)/(na)^2
> 　　　　　　　　　　　　　　　 　≦1/a^2Σ[n=1…∞](√n)/n^2
> 　　　　　　　　　　　　　　　 　＝1/a^2Σ[n=1…∞]1/n^(3/2)
>
> Σ[n=1…∞]1/n^(3/2)は収束するから、Weierstrassの優級数の定理より
> Σ[n=1…∞](√n)/(1+nx)^2は一様収束する。

{a_n},{b_n}が非負数列で∃c∈R such that a_n≦cb_nで{b_n}が収束するならば{a_n}も収束するという定理ですね。

> (0,∞)で一様収束しないこと
>
> 一様収束すると仮定する。十分小さい任意のε>0に対して、適当な番号N>0が存在す
> る。
> N<nに対して、x=1/(2n)とすると
>
> Σ[k=n+1…2n](√k)/(1+k・1/(2n))^2≧Σ[k=n+1…2n](√k)/(1+2n・1/(2n))^2
> 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　≧n×(√(n+1))/4
> 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＞ε
>
> となって矛盾となる。
> したがって、Σ[n=1…∞](√n)/(1+nx)^2は(0,∞)で一様収束しない。

えーと,x=1/(2n)の時
Σ[n=1..∞]√n/(1+nx)^2≧Σ[k=n+1…2n](√k)/(1+k・1/(2n))^2
≧Σ[k=n+1..2n]√k/(1+(k/2n)^2)≧Σ[k=n+1..2n]√k/(1+(2n/2n)^2)
≧n・√(n+1)/4→∞(as n→∞)
となるので一様収束にはならない。

お蔭様で納得できました。

回答No.1

koko_u_

とりあえず定義を書き連ねているだけなので、もう少し考えましょう。
無造作に「但し,L:=Σ[n=1..∞]√n/(1+nx)^2」と書いていますが、大丈夫ですか？