数列{1,cos(nx)}^∞_n=1 についてのfのフーリエ級数はa_0/2+Σ[n=1..∞]a_ncos(nx) (但し,a_0=2/π∫[0..π]f(

質問

宜しくお願い致します。

[問] (1) 数列{1,cos(nx)}^∞_n=1 は[0,π]で直交である事を示せ。
(2) f∈R[0,π](R[0,π]は[0,π]でリーマン積分可能な関数全体の集合)に対して,数列{1,cos(nx)}^∞_n=1 についてのfのフーリエ級数は
a_0/2+Σ[n=1..∞]a_ncos(nx) (但し,a_0=2/π∫[0..π]f(x)dx,a_n=2/π∫[0..π]f(x)cos(nx)dx (n=1,2,…))で与えられる事を示せ。
[(1)の解]
<1,cos(nx)>=∫[0..π]cos(nx)dx=0
次にm≠nの時,<cos(mx),cos(nx)>=∫[0..π]cos(mx)cos(nx)dx
∫[0..π]1/2{cos(mx+nx)-cos(mx-nx)}dx=0
となるので数列{1,cos(nx)}^∞_n=1 は[0,π]で直交
[(2)の解]
この関数の周期はL=π/2なので1/L∫[0..π]cos(kxπ/L)dxに代入して,
a_0=2/π∫[0..π]f(x)dx
は上手くいったのですが
a_n=2/π∫[0..π]cos(2nx)dxとなり,ここから
2/π∫[0..π]f(x)cos(nx)dxに変形できません。
どのようにして変形するのでしょうか?

回答No.2

proto · ベストアンサー

＞この関数の周期は2L(=π)なので1/L∫[0..π]cos(kxπ/L)dxに代入したのです。
ですから、この1/L∫[0..π]cos(kxπ/L)dxがどこから出てきたのかわかりませんものね。
当たり前の公式のように書かれていますが、等式にもなっていないから何を求めているのかもわからないですし。

なので＃１の回答では最終的にa_n=2/π∫[0..π]f(x)cos(nx)dxになるような式を予想して解説しました。

＞これはfは周期2πの偶関数という意味ですよね。
＞今,fは周期はπだと思うのですが…
＞あと,どうしてfは偶関数だと分かるのでしょうか?
質問の文に
『数列{1,cos(nx)}^∞_n=1 についてのfのフーリエ級数は
a_0/2+Σ[n=1..∞]a_ncos(nx) (但し,a_0=2/π∫[0..π]f(x)dx,a_n=2/π∫[0..π]f(x)cos(nx)dx (n=1,2,…))で与えられる事を示せ。』
とあったのでf(x)=a_0/2+Σ[n=1..∞]a_ncos(nx)と表せる前提で話をして良いのかなと思ったのです。
また、f∈R[0,π]の関数を周期[-π,π]で展開することも可能なので一概に周期[0,π]とも言えないと思うのです。
(ただし、その場合にも偶関数として展開、奇関数として展開などの適当な前提は要りますが)

どうやら私が質問や問題の内容を推測して回答してしまったのがよくなかったようですね。
今回は補足要求と言うことにしておきます。

・今回の問題(2)の題意は
　　fがa_0/2+Σ[n=1..∞]a_ncos(nx)で書けることを示すことですか？
それとも
　　f(x)=a_0/2+Σ[n=1..∞]a_ncos(nx)とするとa_0=2/π∫[0..π]f(x)dx,a_n=2/π∫[0..π]f(x)cos(nx)dxとなることを示すことですか？

・『数列{1,cos(nx)}^∞_n=1 についてのfのフーリエ級数』とはこの場合どういう意味でしょう？把握してらっしゃいますか？

・fを展開する際の周期ですが本当に[0,π]ですか？
[0,π]ではcos(nx)とsin(mx)が直交しないですし、
f(x)=Σ{b_n*sin(nx)}と奇関数として展開するしか出来ない気がするんですが。

お礼

遅くなってしまいまして誠に申し訳有りません。
あれから色々と考えました。

フーリエ係数の定義式∫[a to b]f(x)φ_n(x)dx/∫[a to b]φ_n(x)^2dxに代入して

∫[0 to π]f(x)・1dx/∫[a to b]1^2dx=∫[0 to π]f(x)・1dx/π=1/π∫[0 to π]f(x)dx

∫[0 to π]f(x)cos(nx)dx/∫[a to b]cos^2(nx)dx=∫[0 to π]f(x)cos(nx)dx/(1/2[1/ncos(nx)sin(nx)+x]^n_0)
=∫[0 to π]f(x)cos(nx)dx/(1/2(0+π-0-0))=2/π∫[0 to π]f(x)cos(nx)dx

以上よりフーリエ係数が求まったので
f(x)～Σ[n=0..∞]c_nφ_n(x)に代入して
f(x)～2/π∫[0 to π]f(x)dx/2・1+2/π∫[0 to π]f(x)cos(1・x)dxcos(1・x)
+2/π∫[0 to π]f(x)cos(2x)dxcos(2x)+2/π∫[0 to π]f(x)cos(3x)dxcos(3x)+…
=2/π∫[0 to π]f(x)dx/2・1+Σ[n=1..∞]2/π∫[0 to π]f(x)cos(nx)dxcos(nx)

∴a_0=2/π∫[0 to π]f(x)dx,a_n=2/π∫[0 to π]f(x)cos(nx)dxcos (n=1,2,3,…)

回答No.1

proto

＞a_n=2/π∫[0..π]cos(2nx)dxとなり,ここから
a_n=2/π∫[0..π]cos(2nx)dxがどこから出てきたのかよくわかりませんが

　f(x) = a_0/2 + Σ{a_n*cos(nx)}
という形に書けるとして、両辺にcos(mx)を掛けて[0,π]で積分すると
　∫[0,π]{f(x)*cos(mx)}dx = ∫[0,π]{(a_0/2+Σ{a_n*cos(nx)})*cos(mx)}dx

右辺において、∫とΣを交代して
(足してから積分するのではなくて、積分してから足すように変えて)
　∫[0,π]{f(x)*cos(mx)}dx = ∫[0,π]{a_0/2*cos(mx)}dx + Σ{a_n∫[0,π]{cos(nx)*cos(mx)}dx}

このとき∫[0,π]{a_0/2*cos(mx)}dx=0、またΣの中の∫[0,π]{cos(nx)*cos(mx)}dxに着目すると、
n≠mのときは積分が0になるので第m項以外は消えてしまう

結局n=mの項だけが残り、
　∫[0,π]{f(x)*cos(mx)}dx = a_m∫[0,π]{cos(nx)*cos(mx)}dx
　　　　　　　　　　　　　 = a_m∫[0,π]{cos(mx)*cox(mx)}dx

ここで右辺を計算すると
　a_m∫[0,π]{cos(mx)*cox(mx)}dx = a_m*π/2
よって
　a_m*π/2 = ∫[0,π]{f(x)*cos(mx)}dx
　a_m = 2/π∫[0,π]{f(x)*cos(mx)}dx
形式的にmをnで書き換えると
　a_n = 2/π∫[0,π]{f(x)*cos(nx)}dx

お礼

有難うございます。

> ＞a_n=2/π∫[0..π]cos(2nx)dxとなり,ここから
> a_n=2/π∫[0..π]cos(2nx)dxがどこから出てきたのかよくわかりませんが

この関数の周期は2L(=π)なので1/L∫[0..π]cos(kxπ/L)dxに代入したのです。

> 　f(x) = a_0/2 + Σ{a_n*cos(nx)}
> という形に書けるとして、

これはfは周期2πの偶関数という意味ですよね。
今,fは周期はπだと思うのですが…
あと,どうしてfは偶関数だと分かるのでしょうか?

補足

遅くなってしまいまして誠に申し訳有りません。
あれから色々と考えました。

フーリエ係数の定義式∫[a to b]f(x)φ_n(x)dx/∫[a to b]φ_n(x)^2dxに代入して

∫[0 to π]f(x)・1dx/∫[a to b]1^2dx=∫[0 to π]f(x)・1dx/π=1/π∫[0 to
π]f(x)dx

∫[0 to π]f(x)cos(nx)dx/∫[a to b]cos^2(nx)dx=∫[0 to
π]f(x)cos(nx)dx/(1/2[1/ncos(nx)sin(nx)+x]^n_0)
=∫[0 to π]f(x)cos(nx)dx/(1/2(0+π-0-0))=2/π∫[0 to π]f(x)cos(nx)dx

以上よりフーリエ係数が求まったので
f(x)～Σ[n=0..∞]c_nφ_n(x)に代入して
f(x)～2/π∫[0 to π]f(x)dx/2・1+2/π∫[0 to π]f(x)cos(1・x)dxcos(1・x)
+2/π∫[0 to π]f(x)cos(2x)dxcos(2x)+2/π∫[0 to π]f(x)cos(3x)dxcos(3x)+…
=2/π∫[0 to π]f(x)dx/2・1+Σ[n=1..∞]2/π∫[0 to π]f(x)cos(nx)dxcos(nx)

∴a_0=2/π∫[0 to π]f(x)dx,a_n=2/π∫[0 to π]f(x)cos(nx)dxcos (n=1,2,3,…)
とお陰様で上手くいきました。