log(a^2+x^2)の収束半径の求め方

質問

log(a^2+x^2)をマクローリン展開して一般項を求め、収束半径を計算する問題です。
一般項は
log(a^2)+Σ(n=1～∞) (-1)^(n-1)(x/a)^(2n)/n　　
となると思うのですが、このあとに収束半径を求める方法がわかりません。

解く過程を教えていただきたいです。
お願いします。

回答No.2

alice_44 · ベストアンサー

log z の唯一の特異点が z = 0 であることは、知っているでしょう？
log(a^2 + x^2) の特異点は、a^2 + x^2 = 0 となりますから、x = ±ai です。
テイラー展開の収束半径は、展開中心から、一番近い特異点までの距離なので、
log(a^2 + x^2) のマクローリン展開については、0 から ±ai までの距離
a が答えとなります。

収束域が |x|<R であるとき、収束半径は R ですよ。

回答No.1

info22_

>一般項は
>log(a^2)+Σ(n=1～∞) (-1)^(n-1)(x/a)^(2n)/n　

これは一般項ではなくマクローリン展開そのものです。

収束半径は教科書に載っていますので見直してみてください。

参考URLにも載っています。
L=lim[n→∞] |{n/(n+1)}(x/a)^2|=(x/a)^2<1で収束する。
∴|x|<a　で収束
∴収束半径R=1/a

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/収束半径