- ベストアンサー
1+1/2+1/3+…とlog(n)
数学の参考書を読んで疑問に思ったんですけど Ｓ＝1+1/2+1/3+…+1/nとして lim（Ｓ-log(n))が0.5772くらいに収束するのは y=1/xなどのグラフからの面積評価で感覚的になんとなくわかるんですけど lim(Ｓ/log(n))という極限値が１にいくのが全然理解できません。 わかる方はヒントでもなんでもいいのでお願いします。 ちなみにlogは自然対数です。limはｎ→∞という 意味です。
- 数学・算数
- 回答数3
- ありがとう数4
- みんなの回答 （3）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=442446 が参考になるかと思います． そこの No.4 の回答ではさみうちにすれば lim_{n→∞} (S/log(n)) = 1 は示せるでしょう． 私には > lim（Ｓ-log(n))が0.5772くらいに収束する 方が難しい話のように思えます．
その他の回答 (2)
- kabaokaba
- ベストアンサー率51% (724/1416)
蛇足ですが S-lon(n)が収束し，その値が0.57程度なのは よく知られた事実で，これもEulerの定数γとか 呼ばれます． ただし，この値がどういうものなのか， 例えば有理数？無理数？というのは 知られていません． それで，収束性の証明は実は簡単です S(n)＝1+1/2+1/3+…+1/n-log(n) として S(n+1)-S(n) = 1/(n+1)- (log(n+1) - log(n)) です log(n+1) -log(n) = 1/x のnからn+1までの積分 > 1/(n+1) ですので， S(n+1)-S(n) < 0，つまり S(n)は単調減少です つぎに， 区分求積を考えれば S(n) > 1から(n+1)までの積分 - log(n) = log(n+1) - log(n) > 0 ですので，S(n)は下に有界 つまり，S(n)は下に有界な単調減少数列なので 収束するわけです．
お礼
そうですね。オイラーの定数ですね。 収束の判定…、テストで出ました！ くわしい解説ありがとうございました。
- R_Earl
- ベストアンサー率55% (473/849)
> lim（Ｓ-log(n))が0.5772くらいに収束するのは この真偽については分かりませんが、とにかくＳ-log(n)がn→∞である値に収束するということですよね？ とりあえず、 Ｓ-log(n) = a とします。 この式の両辺をlog(n)で割ると Ｓ/log(n) - 1 = a/log(n) この状態でn→∞を考えれば、log(n)→∞ですし、a→0.5772ですから右辺は0に収束します。 なのでn→∞で、Ｓ/log(n) - 1→0です。 Ｓ/log(n) - 1→0なのでＳ/log(n)→1ということだと思います。
お礼
回答ありがとうございます。 このような式変形はおもいつきませんでした。
関連するQ&A
- 極限値lim[n→∞](3^n/(2^n+n^2))とlim[n→∞](2^n+3^n)^(1/n)の求め方は?
(1)lim[n→∞](3^n/(2^n+n^2)) (2)lim[n→∞](2^n+3^n)^(1/n) の極限値がわかりません。 (1)は3^nで分母・分子を割って lim[n→∞](3^n/(2^n+n^2)) = lim[n→∞][1/{(2/3)^n+n^2/3^n}] までいけたのですがn^2/3^nが収束するのか発散するのか分かりません。 どうなるのでしょうか? あと、(2)は対数を取って lim[n→∞]log(2^n+3^n)^(1/n) = lim[n→∞](1/n)log(2^n+3^n) までいけたのですがここから先へ進めません。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 自然対数の底と極限
自然対数の底 e = lim(n→∞) (1+ (1/n))^n というのは、周知の事実である（ときには定義）と思います。 現在、極限 lim(n→∞) (1- (1/n))^n を考えています。 グラフ描画ソフトなどで確認した場合、どうもこれは 1/e に収束するようなのですが、どのように計算したらよいのかがわかりません。 どなたかご教授お願いします。 ※n を -nと置き換えると、 lim(n→-∞) (1+ (1/n))^(-n)となり、一見 1/eに収束するように見えるのですが、 n→-∞となっています。 この疑問は、 lim(n→-∞) (1+ (1/n))^nとlim(n→∞) (1+ (1/n))^nがなぜ一致するのか、という問題と言い換えることができます。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 収束S_(n+1)=S_n+log(a-S_n)
S_1=log a として S_(n+1)=S_n+log(a-S_n) とすると {S_n}が収束することを示せという問題なのですが、 とき方としては、 まず問題文よりa>0またすべてのｎにおいてa-(S_n)>0 これを変形してa>S_n よって、S_nは上に有界である。…(1) ここでf(x)=x-logxを考える(0<x) f '(x)=1-1/xであるためf(x)の最小値はf(1)=1であることがわかる。…(2) 任意のｎに対し S_(n+1) =S_n+log(a-S_n) =S_n+log(a-S_(n-1)-log(a-S_(n-1)) Y=a-S_(n-1) とおいて代入すると =S_n+log(Y-logY) ２の結果より 1)Y≠１ log(Y-logY)>0になるので、すべてのｎにおいてS(n+1)>S(n)となり、(1)とあわせ、数列は収束する 2)Y=1 log(Y-logY)=0になり、S_(n+1)=S_nとなる。この場合はすべての項が同じになる。 よって数列{S_n}は収束する 収束値LはL=L+log(a-L)⇔log(a-L)=1⇔L=a-1である。 で回答の方針はあってますか？何か間違いがあったら指摘お願いします。まったく見当違いな解答でしたら、正しいやり方のヒントお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- Π（1-1/2^n）
lim(n→∞）（1-1/2）（1-1/4）（1-1/8）…（1-1/2＾n） は収束して極限値は0.288788095・・・ のようですが、どなたか正確な値を教えて下さい。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- logについて
logについて (logは自然対数です) logxがx=0で定義されないのは、グラフより分かるのですが、 lim[x→+0]logx，lim[x→-0]log-xは-∞に発散すると言うのは合っているでしょうか？ また、対数において対数の底が、a<0，a≠1の場合の理由はなぜでしょ うか？ a=0の場合の理由はなんとなくですが理解できます。 logｘ=y→x=a^yとなりa=0の場合はx=a^yが成り立たないからと認識しております。 つまり定義されないと認識しています。 a=1の場合の理由がいまいち分かりません・・・ logｘ=y→x=1^yとなりa=1の場合は成り立つのですが、結局yがどんな数でもx=1 となるので対数を用いる意味が無いからということなのでしょうか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 極限の問題がわかりません
logを自然対数、eをその底とする。 (1)a>0, a=0, a<0のそれぞれについて極限lim[n→∞](1/n)*log(1+e^na)を求めよ (2)任意の実数a,bに対し、極限lim[n→∞](1/n)*log(e^na+e^nb)を求めよ 詳しい解答がありませんでした。 できれば途中式もよろしくお願いします；
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 極限 an=n√n の求め方について
lim (n→∞)an = A< +∞ならば、 lim (n→∞)(a1+a2+....+an)=Aa であるとき an = n√nの極限値を求めよ ( aに付いているnは数列の項の番号、√nについているnはn乗根の意味です) といった問題なのですが、どう手をつけていいかさっぱり解りません。 対数を使って計算する、と教わったのですが、どうやって対数をこの式に使えば良いのかわからないのです、どなたか解法や、解法のヒントをご存知の方がいましたら、回答お願いします、よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- Σ[n=0..∞](-1)^n/nの収束はどうやってわかりますか?
Σ[n=0..∞](-1)^n/nの収束・発散を吟味して収束ならその和を求めようとしていま す。 実際に判定してみましたら lim[n→∞]|a(n+1)/a(n)|=lim[n→∞]|((-1)^(n+1)/(n+1))/((-1)^n/n)|=lim[n→∞]|-n/(n +1)|=1で判定不能になってしまいました。 こういった場合はどうすればいいんでしょうか? 和についてですがとりあえず 収束という前提で収束値を求めてみましたら log(1+x)=Σ[n=1..∞] {(-1)^{n-1}/n}・x^n x=1代入で，log2 =Σ[n=1..∞] (-1)^(n-1)/nとなりましたがこれで正しいでしょうか?
- ベストアンサー
- 数学・算数
- (log 1)^s + (log 2)^s + … + (log n)^s + …の収束・発散
1/1^s + 1/2^s + … + 1/n^s + … においては、 s>1のとき収束 s≦1のとき発散 だと思いますが、 (log 1)^s + (log 2)^s + … + (log n)^s + … においては、どうなるのでしょうか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- Σ[n=0..∞](-1)^n5^n/(2n)!の和は?
Σ[n=0..∞](-1)^n5^n/(2n)!の収束・発散を判定し,収束ならその和を求めよ。 という問題です。 これは交項級数なので数列{5^n/(2n)!}が単調減少且つlim[n→∞]5^n/(2n)!=0より (∵比を採ると5^(n+1)/(2(n+1))!/5^n/(2n)!=2/((2n+2)(2n+1))で単調減少且つ極限値が0) Σ[n=0..∞](-1)^n5^n/(2n)!は収束。 となるのかとと思いますが和はどのように求めればいいのかわかりません。 どのようにして求めれるのでしょうか?
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
回答ありがとうございました。 たしかに0.5772をどうやって計算したのとか不思議ですねｗ