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1/(b+c-a)+1/(c+a-b)+…
a,b,cを三角形の3辺の長さとすれば、 1/(b+c-a) + 1/(c+a-b) + 1/(a+b-c)≧9/(a+b+c) の証明をどうか教えていただけますようお願いいたします。
- katadanaoki
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＞a,b,cを三角形の3辺の長さとすれば、 ｂ＋ｃ＞ａ，ｃ＋ａ＞ｂ，ａ＋ｂ＞ｃが成り立つから、 Ａ＝ｂ＋ｃ－ａ＞０，Ｂ＝ｃ＋ａ－ｂ＞０，Ｃ＝ａ＋ｂ－ｃ＞０ とおくと、 １／Ａ＞０，１／Ｂ＞０，１／Ｃ＞０ ＞1/(b+c-a) + 1/(c+a-b) + 1/(a+b-c)≧9/(a+b+c) 相加平均・相乗平均より、 （１／Ａ）＋（１／Ｂ）＋（１／Ｃ）≧３・3√（１／ＡＢＣ） Ａ＋Ｂ＋Ｃ≧３・3√ＡＢＣ ここで、Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝ａ＋ｂ＋ｃ 上の２つの不等式を左辺・右辺同士で掛け合わせると、 ｛（１／Ａ）＋（１／Ｂ）＋（１／Ｃ）｝・（ａ＋ｂ＋ｃ）≧９・3√１＝９ よって、 1/(b+c-a) + 1/(c+a-b) + 1/(a+b-c)≧9/(a+b+c) でどうでしょうか？
