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(b+c)(c+a)(a+b)≧8abc
文字は正とする。 (b+c)(c+a)(a+b)≧8abc の証明をどうか教えていただけますようお願いいたします。
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いずれにしても、相加平均・相乗平均を使う事になる。 b+c≧2√(bc)、等号は b＝cの時。c+a≧2√(ca)、等号は a＝cの時。a+b≧2√(ba)、等号は a＝bの時 よって、この3つの不等式を掛けると (b+c)(c+a)(a+b)≧8abc。 等号は a＝b＝cの時 相加平均・相乗平均を掛け合わせて使う時 注意しなければならないのは 等号成立条件。 簡単な問題だから、ちょつと遊んでみよう。 a+b+c＝αとすると (b+c)(c+a)(a+b)＝(α-a)*(α-b)*(α-c)＝α＾3-(a+b+c)α＾2＋(ab+bc+ca)αーabc＝α＾3-α＾3＋(ab+bc+ca)αーabc＝(ab+bc+ca)αーabc。 つまり、(ab+bc+ca)(a+b+c)≧9abcを示すと良い。 a+b+c≧3(3)√(abc)、ab+bc+ca≧3(3)√(abc)＾2. この2つの不等式を掛けると、(ab+bc+ca)(a+b+c)≧9abc 等号はa＝b＝cの時
その他の回答 (1)
左辺の各因数を相加平均の2倍と見なしたら。
お礼
なるほど、おっしゃるとおりです。ありがとうございます。
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お礼
聡明な別解もいただきありがとうございます。