解決済み

(b+c)(c+a)(a+b)≧8abc

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お礼率 47% (222/465)

文字は正とする。
(b+c)(c+a)(a+b)≧8abc
の証明をどうか教えていただけますようお願いいたします。

質問者が選んだベストアンサー

  • 回答No.2

ベストアンサー率 41% (502/1210)

いずれにしても、相加平均・相乗平均を使う事になる。

b+c≧2√(bc)、等号は b=cの時。c+a≧2√(ca)、等号は a=cの時。a+b≧2√(ba)、等号は a=bの時
よって、この3つの不等式を掛けると (b+c)(c+a)(a+b)≧8abc。
等号は a=b=cの時

相加平均・相乗平均を掛け合わせて使う時 注意しなければならないのは 等号成立条件。


簡単な問題だから、ちょつと遊んでみよう。

a+b+c=αとすると (b+c)(c+a)(a+b)=(α-a)*(α-b)*(α-c)=α^3-(a+b+c)α^2+(ab+bc+ca)αーabc=α^3-α^3+(ab+bc+ca)αーabc=(ab+bc+ca)αーabc。
つまり、(ab+bc+ca)(a+b+c)≧9abcを示すと良い。
a+b+c≧3(3)√(abc)、ab+bc+ca≧3(3)√(abc)^2.
この2つの不等式を掛けると、(ab+bc+ca)(a+b+c)≧9abc 等号はa=b=cの時
 
お礼コメント
katadanaoki

お礼率 47% (222/465)

聡明な別解もいただきありがとうございます。
投稿日時 - 2012-03-01 13:04:59
Be MORE 7・12 OK-チップでイイコトはじまる

その他の回答 (全1件)

  • 回答No.1

左辺の各因数を相加平均の2倍と見なしたら。
お礼コメント
katadanaoki

お礼率 47% (222/465)

なるほど、おっしゃるとおりです。ありがとうございます。
投稿日時 - 2012-03-01 13:05:33
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