a^2+b^2+c^2=3 のとき、a^3+b^3+c^3+3abc<

質問

a^2+b^2+c^2=3 のとき、a^3+b^3+c^3+3abc<=6 を示せ。
（ただし,a>0,b>0,c>0）これは、既出の問題で、添削をしてもらい、間違いを指摘してもらいました。
いろいろ考えましたが、良い考えがでません。
添削してもらった解答は、c<=b<=a と置いて、これより、c<=1 が分かる。
また、相加相乗を使うと、abc<=1 となるので、証明する式は、
a^3+b^3+c^3<=3 となる。ここで、c<=1だから、a^3+b^3+c^3<=a^3+b^3+1^3となるので、
a^3+b^3<=2を　a^2+b^2+1^2=3,つまり、a^2+b^2=2のもとで示せばよい。
としてしまいましたが、c=1でa^3+b^3+c^3が最大になるとは限らないので、ここで考えは
破綻しました。
良い考えがありましたら、よろしくお願いします。

回答No.2

nag0720 · ベストアンサー

＞a^3+b^3+c^3≦3が示された

反例
(√5/2)^2+(√5/2)^2+(√2/2)^2＝3
(√5/2)^3+(√5/2)^3+(√2/2)^3＞3

お礼

確かに。
証明の間違いを確認します。
そうすると、この証明問題はそもそも成り立たないのでしょうか。

回答No.1

Tacosan

「よい考え方」ではありませんが....
既に「a^2+b^2+c^2=3 から a^3+b^3+c^3≦3 は証明できない」と指摘したはずなんだけど.

お礼

既に「a^2+b^2+c^2=3 から a^3+b^3+c^3≦3 は証明できない」と指摘したはずなんだけど.
過去の投稿を探しましたが、見つけることができなく失礼しました。
次のようにも考えてみましたが、どうでしょうか。
a+b+c=p,ab+bc+ca=q,abc=r とおく。a^2+b^2+c^2=3 は
p^2-2q=3 となる。
a^3+b^3+c^3=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab+bc+ca)+3abc
=p*(3-q)+3r
=3p-p*(p^2-3)/2+3r
=-p^3/2+3p+3r
ここで、区間p>0,だから、また、極値がp=√３より、
極大値で、最大値をとる。
-p^3/2+3p+3r
=3√3+3r...(1)
次に、a+b+c=√３だから、r<=1/3√3となり
(1)＜＝3√3+√3/3=10√3/3<6
よって、a^3+b^3+c^3≦3が示された
どうでしょうか。