既出問題 a>0,b>0,c>0で、

質問

既出問題　a>0,b>0,c>0で、
a^2+b^2+c^2=3のとき、
a^3+b^3+c^3+3abc=<6の証明。
添削をお願いします。

a^3+b^3+c^3>=3abcより、
a^3+b^3+c^3+3abc=<2(a^3+b^3+c^3)
よって、a^3+b^3+c^3=<3をしめせばよい。
ここで、c=<b=<aとすると、a^2+b^2+c^2=3より、
3c^2=<3で、c=<1。よって、a^3+b^3+c^3=<a^3+b^3+1
だから、a^3+b^3+1=<3、つまり、a^3+b^3=<2をしめせばよい。
c=1としているから、a^2+b^2+c^2=3にc=1に代入して、a^2+b^2=2
よって、a^2+b^2=2のもとで、a^3+b^3=<2をしめせばよい。
a=cosx,b=sinxとおくと、あきらかに、a^3+b^3=<2
以上よろしくお願いします。

回答No.2

mister_moonlight · ベストアンサー

この問題の配点を20点とするなら、10点もないだろう。

＞c=1としているから、a^2+b^2+c^2=3にc=1に代入して、a^2+b^2=2

ここから下はだめ。
a^3+b^3+c＾3≦a^3+b^3+1　が成立はするが、なぜ　c=1　に限定するのか。
a^3+b^3+c＾3≦a^3+b^3+1　の等号は確かにc=1のときだが。
もし、3変数として考えて最大値の最大値を求めるつもりなら、そのような説明が必要。

＞a^2+b^2=2のもとで、a^3+b^3=<2をしめせばよい。a=cosx,b=sinxとおくと、あきらかに、a^3+b^3=<2

これは嘘。
a^2+b^2=2　ならば、a=(√2)cosx,b=(√2)sinx。
したがって、明らかになんかは成立しない。微分が必要になるだろう。

お礼

いろいろと間違っているところを指摘され、納得できます。
もう少し考えないといけないと思いました。
ありがとうございます。

回答No.1

Tacosan

不等号は「=<」より「<=」の方が自然ではあるけど, それはおいても「c=1としているから」は論理的に破たんしてる. いったいいつ「c=1 とした」の?
よしんば「c=1 とした」ときだけを考えても, 「a^2+b^2=2」から「a=cos x, b=sin x とおく」のはあり得ないです.

お礼

疑問に思っていることが、整理できました。
間違っていることが、理解できました。
ありがとうございます。