因数分解せよ。 (a+b)(b+c)(c+a)+abc

質問

因数分解せよ。
(a+b)(b+c)(c+a)+abc

解答は (a+b+c)(ab+bc+ca) とありますが、

何度やってみても私はこの解答を出せませんでした。
=(b+c)a^2 + (b^2+3bc+c^2)a + bc(b+c)　・・・ここまでは解るのですが、この先から解りません。

解説には、たすきがけで解答を導く方法がのっていましたが、この方法を用いず、計算する方法はありますでしょうか。（2乗の書き方がわかり辛くてすみません）
　たすきがけにとても時間をかけてしまい、地道に計算していく方法を知りたいのですが、教えていただければとても嬉しいです。よろしくお願い致します。

回答No.2

kuma_ · ベストアンサー

(a+b)(b+c)(c+a)+abc
=(ab+ac+bc+b^2)(c+a)+abc
=abc+ba^2+ac^2+ca^2+bc^2+abc+cb^2+ab^2+abc
=3abc+ab(a+b)+ac(a+c)+bc(b+c)←abcが3つあって，項が3つあるので
=ab(a+b+c)+ac(a+b+c)+bc(a+b+c)
=(a+b+c)(ab+bc+ca)

これでどうでしょう？（←）のところは気づかないといけませんが．

お礼

わかりやすい回答で解答を出すことができました。本当に有難うございました。今回のように上手く３つの項が分けられる問題ばかりではないと思うのでたすきがけをできるように頑張りたいと思います。

回答No.5

ninigi

イヤになるくらい地道な方法があります。
二次式の因数分解 Ax^2 + Bx + C = A(x - α)(x - β) のαとβは二次方程式の解なので、解の公式で求めることができるのです。
質問の問題の場合は、

(b+c)a^2 + (b^2+3bc+c^2)a + bc(b+c) = 0

とおくと、解の公式より

a = ( -(b^2+3bc+c^2) ± √((b^2+3bc+c^2)^2 - 4(b+c)bc(b+c)) ) / 2(b+c)
　= ( -b^2-3bc-c^2 ± √(b^4+3b^2c^2+c^4+2b^3c+2bc^3) ) / 2(b+c)
　= ( -b^2-3bc-c^2 ± √((b^2+c^2)^2 + 2(b^2+c^2)bc + b^2c^2) ) / 2(b+c)
　= ( -b^2-3bc-c^2 ± √((b^2 + c^2 + bc)^2) ) / 2(b+c)
　= ( -b^2-3bc-c^2 ± (b^2 + bc + c^2) ) / 2(b+c)
　= -2bc / 2(b+c) と -2(b+c)^2 / 2(b+c)
　= -bc / (b+c) と -b-c

よって２つの解は α=-bc/(b+c)、β=-b-c となるので次のように因数分解できます。

(b+c)(a-α)(a-β)
　= (b+c)(a+bc/(b+c))(a+b+c)
　= (ab+ac+bc)(a+b+c)

一見、解の公式の√の中身の計算が難しそうに見えますが、必ず「A^2+2AB+B^2=(A+B)^2」の形になるのでそう難しくはありません。

この方法は因数分解のセンスが殆ど必要なく、計算力で強引に解く事ができます。しかし逆に相当計算力が要ります。時間もかかります。

普通に『たすき掛け』で解けるようにするのが一番効率が良いです。
私はどうしてもたすき掛けが上手くいかないときだけ、この方法で解いていました。

お礼

とても丁寧な回答を本当にありがとうございました。私のために時間を費やしていただき感謝しています。
やはり他の方から頂いた回答なども含め、たすきがけの重要性を感じました。すばやく使えるようになるまで相当かかりそうですが頑張りたいと思います。

回答No.4

info22

あえてたすき掛け法を書きます。
この方法が出来ないと因数分解や方程式が解けない。
解くのに苦労する事態になりかねません。
では、どの様にしてたすき掛け法を無理をすることなく無駄な計算をしないで自然な流れの中で効率的に使えて行くかの観点から式を変形して見ましょう。

(a+b)(b+c)(c+a)+abc
=(b+c)(a+b)(a+c)+abc←まずaについて展開する事を考え（）を入れ替える
=(b+c)a^2+{(b+c)^2 +bc}a+(b+c)bc　←aについて整理しながら展開

（ポイント）↑むやみやたらにばらばらに展開しないことが大切

ここでaの一次の項の和を作るように
a^2の係数と定数のたすき掛けを作る。

b+c 　　　bc　=　　bc
　　×
1　　　　b+c　=　(b+c)^2
----------------------------
　　　　　　　　(b+c)^2 +bc
ほら、簡単にaの一次の項が出来たでしょう。

={(b+c)a + bc}{a + (b+c)}　←たすき掛けの式化したもの

=(ab+bc+ca)(a+b+c)　←　輪かんの順に並べながら中の（）を外す。

これで出来たでしょう。そんなに考えなくても自然にできるでしょう。

なぜ、うまくできなかったかは、質問者さんがaの一次項の係数を不用意にばらばらにしてしまったことにありますね。
＞　=(b+c)a^2 + (b^2+3bc+c^2)a + bc(b+c)
＞　・・・ここまでは解るのですが、この先から解りません。
それでたすき掛け法を見えにくくしてしまったわけです。

たすき掛け法に持っていくときは、
「一次の係数を<<意味もなく>>ばらさない。」
ことを覚えておいてください。

お礼

お忙しい中、とても詳しい回答を下さり有難うございました。本当に感謝しています。ご指摘いただいたおかげで自分の問題点を見つけることができました。たすきがけは苦手意識がありますが頑張っていきたいと思います。

回答No.3

staratras

A=a+b+c　と置くのが簡単です。

すると与えられた式は
（A-c)(A-a)(A-b)+ａｂｃ
＝（A＾2-（ａ＋c）Ａ+ａｃ）（Ａ－ｂ）+ａｂｃ
＝A^3-（ａ＋ｂ＋ｃ）A＾２＋（ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ）Ａ-ａｂｃ+ａｂｃ　ａｂｃが消えてくれる！
＝A(（A^2-（ａ＋ｂ＋ｃ）A＋（ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ）)
ここでAを元に戻すと　Ａの２乗が消えてくれる！
上の式＝（a+b+c)（(a+b+c）＾２-（a+b+c）＾２＋(ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ))
　　　＝（a+b+c)(ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ）

何か手品のようで話がうますぎるような気がしますが、
４０年近く前の高校１年生の時に
教えられて以来このやり方をずっと覚えています。

お礼

ご丁寧に回答下さり本当に有難うございました。
はじめは難しそう、と思いましたが覚えるべきものだと感動しました。基礎につまづいてばかりですが頑張ってって行きたいと思います。

回答No.1

koko_u_

>たすきがけで解答を導く方法がのっていましたが、
>この方法を用いず、計算する方法はありますでしょうか。

b + c = t
bc = u

と置くと、

与式 = t(a+b)(a+c) + au = ta^2 + (t^2+u)a + tu

これを a の 2次式だと思って根を求める際の変形を適用すれば、

= t{a + (t^2+u)/(2t)}^2 - (t^2+u)^2/(4t) + tu

= t{a + (t^2+u)/(2t)}^2 - {t^4 - 2t^2u + u^2}/(4t)

= t{a + (t^2+u)/(2t)}^2 - (t^2 - u)^2/(4t)

= t{a + (t^2+u)/(2t) + (t^2-u)/(2t)}{a + (t^2+u)/(2t) - (t^2-u)/(2t)}

= t{a + t}{a + u/t}

= (b+c)(a+b+c)(a+(bc)/(b+c))

= (a+b+c)(a(b+c)+(bc))

。。。イマイチだな。最初の ta^2 + (t^2+u)a + tu を襷掛けできるようになる方が早い。

お礼

お忙しい中、すぐに丁寧な回答を下さり本当に有難うございました。とても感謝しています。
やはり、たすきがけに慣れていかないとならないと痛感しました。とても苦手意識がありますが
頑張りたいと思います。