解決済み

a^4+b^4+c^4≧b^2c^2+c^2…

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お礼率 47% (222/465)

文字は正とする。
a^4+b^4+c^4≧b^2c^2+c^2a^2+a^2b^2≧abc(a+b+c)
の証明をどうか教えていただけますようお願いいたします。

質問者が選んだベストアンサー

  • 回答No.2

ベストアンサー率 41% (502/1210)

実数x、y、zについて 絶対不等式:x^2+y^2+z^2≧xy+yz+zx ‥‥(1)が成立する。
何故なら、左辺-右辺=(1/2)*{(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2}≧0だから。等号はx=y=z ‥‥(2)の時。

>a^4+b^4+c^4≧b^2c^2+c^2a^2+a^2b^2

(1)でx=a^2、y=b^2、z=c^2 とするだけ。等号は文字が全て正から(2)より、a=b=c の時。

>b^2c^2+c^2a^2+a^2b^2≧abc(a+b+c)

(1)でx=ab、y=bc、z=ca とするだけ。等号は文字が全て正から(2)より、a=b=c の時 
お礼コメント
katadanaoki

お礼率 47% (222/465)

ありがとうございます。よくわかりました。
証明から、文字は正でなくてもよいようでした。
投稿日時 - 2012-03-02 12:37:49
Be MORE 7・12 OK-チップでイイコトはじまる

その他の回答 (全2件)

  • 回答No.3

ベストアンサー率 41% (502/1210)

>証明から、文字は正でなくてもよいようでした。

いや、その条件を使った解法を示そう。相加平均・相乗平均が使える。

>a^4+b^4+c^4≧b^2c^2+c^2a^2+a^2b^2

a^4+b^4≧2a^2b^2、b^4+c^4≧2b^2c^2、a^4+c^4≧2c^2a^2。
これらを足すと a^4+b^4+c^4≧b^2c^2+c^2a^2+a^2b^2 になる。

>b^2c^2+c^2a^2+a^2b^2≧abc(a+b+c)

b^2c^2+c^2a^2≧2abc^2、c^2a^2+a^2b^2≧2bca^2、a^2b^2+b^2c^2≧2acb^2
これらを足すだけ。
お礼コメント
katadanaoki

お礼率 47% (222/465)

すばらしい内容をありがとうございました。
投稿日時 - 2012-03-03 12:39:01
  • 回答No.1

ベストアンサー率 61% (409/661)

a^4 + b^4 + c^4 - (b^2*c^2+ c^2*a^2 + a^2*b^2)
= (1/2){(b^2-c^2)^2 + (c^2-a^2) + (a^2-b^2)}≧ 0
(等号成立は、a^2=b^2=c^2のとき)
よって、a^4 + b^4 + c^4≧b^2*c^2+ c^2*a^2 + a^2*b^2、

(b^2*c^2+ c^2*a^2 + a^2*b^2) - abc(a+b+c)
= (1/2){(ca - ab)^2 + (ab - bc)^2 + (bc - ca)^2}≧ 0
よって、b^2*c^2+ c^2*a^2 + a^2*b^2≧abc(a+b+c)

等号が成立するのは、ca=ab,かつ,ab=bc,かつ,bc=caのとき、
a=0ならば,bc=0、b=0ならば,ca=0、c=0ならば,ab=0
a,b,c≠0ならば、a=b=c、

よって、等号の成立条件は、a=b=c≠0,または、a,b,cのうち少なくとも2つが0であること、
お礼コメント
katadanaoki

お礼率 47% (222/465)

ありがとうございます。よくわかりました。
証明から、文字は正でなくてもよいようでした。
投稿日時 - 2012-03-02 12:38:59
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