(a³+b³+c³-3abc)を(a+b+c)で割

質問

(a³+b³+c³-3abc)を(a+b+c)で割る時の手順を細かく教えてください。

回答No.2

asuncion · ベストアンサー

添付図のとおり、組立除法を使ってみました。

お礼

わざわざ画像までありがとうございます

回答No.1

phosphole

まずa,b,cの3次の項の係数が１であるのだから、以下のように因数分解できるはず。
(a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 + x ab + y bc + z ca + m a + n b + o c + k)
x,y,z,m,n,o,kは定数。

まずaについて開くと、
a^3 + ab^2 + ac^2 + x a^2 b + y abc + z ca^2 + m a^2 + n ab + o ac + ka
となる。b,cについても開いて考えても良いが、この時点でも、「少し考えれば」m, n, o, kは０でないと上記の因数分解が恒等式にならないと気付ける。なぜなら、たとえば、a^2についての式は、b,cについて上記の因数分解を開いた場合には出てこない（b,cを掛け算するから、必ずb,cが入ってこないといけない）。ところが、もともとの式にはa^2についての項は無いので、この項は常に０でないといけないはずである。

※こういう、a,b,cについて対象的な式の場合に、余計な計算をせずに済むかどうか、「数学的なセンスがあるかどうか」で変わってしまう。
良くわからんかったら、上記の因数分解をまともに完全に展開して、それがa^3 + b^3 + c^3 -3abcと一致するように係数を見比べること。

したがって、最初の因数分解は単純化できて、
(a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 + x ab + y bc + z ca)
となる。
今度こそまともに開くと、
a^3 + ab^2 + ac^2 + x a^2b + y abc + z ca^2
a^2b + b^3 + bc^2 + x ab^2 + y b^2c + z abc
a^2c + b^2c + c^3 + x abc + y bc^2 + z ac^2
となる。
これがa^3 + b^3 + c^3 - 3abcに等しいので、たとえば、ab^2についての項をまとめた（1 + x) ab^2は0でないといけないのだから、x = -1となる。同様に計算すればy = z = -1となる。
よって
(a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)
となる。

※a, ,ｂ、ｃについて対称的な式なので、x = -1なら、当然、y もｚも-1でないといけない、と気づける。

※※　もっといえば、a^3 + b^3 + c^3 - 3abcという式なら、「対称的にする」には
(a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 -ab - bc - ca)
でないと「おかしい」と気づけるし、「気づけないとダメ」。