a+b+c＝k→a^2+b^2+c^2のM,m

質問

図形における最大値、最小値の問題です（表題は、記号化したものです）。
次の(2)の解法を、どなたか教えていただけませんか。どうかよろしくお願いします。

（図は略させてください）
AB＝2，BC＝3，CA＝4 となる△ABCの内部の点Pから辺AB，BC，CAにそれぞれ
垂線PL，PM，PNを下ろす。このとき，次の問いの答えよ。
(1) 2PL＋3PM＋4PN が一定となることを証明せよ。
(2) (2PL)^2＋(3PM)^2＋(4PN)^2 の最小値と，最大値をとるときのPの位置を求めよ。

(1) △ABC＝s とおくと，(1/2)(2PL＋3PM＋4PN)＝s で，証明は簡単なのですが，(2)を解く場合、まず、相加・相乗で最小値はどうかと考えながら、、、あるいは三角関数？自分の数学力からして、すぐに行き詰ってしまいました。

回答No.2

info222_ · ベストアンサー

(1)
AB＝2，BC＝3，CA＝4
s=(AB+BC+CA)/2=9/2
△ABC＝S=(s(s-2)(s-3)(s-4))^(1/2)=((9/2)(5/2)(3/2)(1/2))^(1/2)
=(3/4)*15^(1/2)
2PL＋3PM＋4PN=2*S=(3/2)15^(1/2)= (3/2)√(15)=k(一定)

(2)
2PL=a(>0), 3PM=b(>0), 4PN=c(>0)とおく。
a+b+c=k= (3/2)√(15)
F=(2PL)^2＋(3PM)^2＋(4PN)^2=a^2+b^2+c^2
k/√3= (3/2)(√5)≦a^2+b^2+c^2≦k^2=135/4

最小値m=(3/2)(√5)
最小値をとるときのPの位置
a=b=c=k/3=(√15)/2 の時,
PL=a/2=(√15)/4, PM=b/3=(√15)/6, PN=c/4=(√15)/8

最大値M=135/4
最大値をとるときのPの位置: 三角形ABCののいずれかの位置
(a=k,b=c=0) or (a=c=0,b=k) or (a=b=0,c=k)の時,
PL=k/2=(3/4)(√15), PM=0, PN=0(P点:C点に 一致) or
PL=0, PN=0, PM=k/3=(√15)/2 (P点:A点に 一致) or
,PL=0,PM=0,, PN=k/4=(3/8)(√15) (P点:B点に 一致)

回答No.1

f272

3次元の直交座標系で考える。
3点(k,0,0)，(0,k,0)，(0,0,k)を頂点とする3角形を考えると，この3角形の内部(境界を含む)に点(a,b,c)があるということがa+b+c=kという条件です。
このときa^2+b^2+c^2は原点(0,0,0)からの距離になります。
この距離が最大になるのは(a,b,c)が3角形の頂点(k,0,0)，(0,k,0)，(0,0,k)に等しいとき。
この距離が最小になるのは(a,b,c)が3角形の中心(k/3,k/3,k/3)に等しいとき。
どちらも明らかですね。