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三角形に関する(a^2+b^2+c^2)/R^2
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- mister_moonlight
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正弦定理から、a＝2ＲsinＡ、b＝2ＲsinＢ、c＝2ＲsinＣ。これを条件式に代入すると(a^2+b^2+c^2)/R^2＝4{sin＾2Ａ＋sin＾2Ｂ＋sin＾2Ｃ}となる。 簡単な方からやってみよう。 ・直角三角形の場合 4{sin＾2Ａ＋sin＾2Ｂ＋sin＾2Ｃ}＝8 だから、2倍角の公式を使うと、sin＾2Ａ＋sin＾2Ｂ＋sin＾2Ｃ＝3/2-1/2{coc2Ａ＋cos2Ｂ＋cos2Ｃ}＝2 つまり、coc2Ａ＋cos2Ｂ＋cos2Ｃ＋1＝coc2Ａ＋cos2Ｂ＋2{cos2Ｃ＋1}＝2cos(Ａ＋Ｂ)cos(Ａ-Ｂ)＋2cos＾2(Ａ＋Ｂ)＝cos(Ａ＋Ｂ)*cosＡ*cosＢ＝0. これを解くと、どれかは π/2. 逆は自明。 ・正三角形 これはちょっと面倒みたいだ。 条件から coc2Ａ＋cos2Ｂ＋cos2Ｃ＝-3/2 になる。 ここで coc2Ａ＋cos2Ｂ＋cos2Ｃ の値域を考えてみよう。 coc2Ａ＋cos2Ｂ＋cos2Ｃ＝2cos(Ａ＋Ｂ)*cos(Ａ-Ｂ)＋cos2Ｃ≦2cos(Ａ＋Ｂ)＋cos2Ｃ＝-2cosＣ＋2cos＾2Ｃ-1＝2(cosＣ-1/2)＾2-3/2。‥‥(1) coc2Ａ＋cos2Ｂ＋cos2Ｃ＝-3/2となるから、(1)で cosＣ-1/2＝0。 この時、Ｃ＝π/3、Ａ-Ｂ＝0 → cos(Ａ-Ｂ)＝1 の時。つまり、Ａ＝Ｂ＝Ｃ＝π/3。逆は自明。
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