図のように、3つの円A、B、Cが外接し、円Aの半径は2、円Bの半径は4

質問

図のように、3つの円A、B、Cが外接し、円Aの半径は2、円Bの半径は4である。また、lは3つの円の共通接線で、P、Q,Rは接点である。このとき、円Cの半径を求めよ。

AとP、AとB、BとQを結び、AからBQに垂線ADをおろして、ADPQが長方形ということから、PQ＝ADということを導き出して、三平方の定理をABDに適用し、ADを求めるところまでいったのですが、そこから何をどうすればいいのか分かりません。（ここまではヒントを参考になんとかいけました。）

どなたか教えていただけないですか？

よろしくお願いします

PS　図が少し汚いですが了承ください。

回答No.3

OKXavier · ベストアンサー

図を添付したので、図を見ながら、
△AECと△BCFと△ACBに三平方の定理を適用する。

円Aの半径をr1
円Bの半径をr2
円Cの半径をr3
PR=a,　RQ=b
とすると、

(r1-r3)^2+a^2=(r1+r3)^2　‥‥(1)
(r2-r3)^2+b^2=(r2+r3)^2　‥‥(2)
(r1+r2)^2-(r2-r1)^2=(a+b)^2　‥‥(3)

(1)から、a^2=8r3
(2)から、b^2=16r3
これから、b=√2a　‥‥(4)
(3)を用いて、aの値を求め、(1)か(2)でr3を求めていく。

一応計算し、r3=12-8√2　となりましたが、
細かな計算は自分でして下さい。

お礼

図が付いていてとてもわかりやすかったです

ありがとうございました

回答No.2

f272

1)円Aの半径は2，円Bの半径は4，lは2つの円の共通接線であり，その接点がP,QのときPQを求める。
2)円Aの半径は2，円Cの半径はr，lは2つの円の共通接線であり，その接点がP,RのときPRを求める。
3)円Bの半径は4，円Cの半径はr，lは2つの円の共通接線であり，その接点がQ,RのときQRを求める。

これらはすべて同じ構造でしょ。1)が出来るのに2)3)が全く分からないなんて信じられません。
PRもQRもrを使って表現できるはずです。

で，これから先は図が小さくて良く見えないのですが，円Cが円Aと円Bの間にあるもっとも小さな円だとするとPQ=PR+QRですから，rについての方程式が一つ出来るので，これを解けばrが求まります。

お礼

本当すいません

もうちょっと努力します

回答No.1

f272

ADを求めることができたんですね。
つまりAD=PQですから，PQを計算することができる。
そうであれば，円Cの半径をrとして，同じようにしてPRやQRも求めることが出来るでしょう。
これでrを使ってPQ，PR，QRついての式が出来ますね。

補足

prやqrはどのようにもとめるのですか？

全く分からないです。