高校数学、2円の外接、共通接線

質問

図のように、2円が外接していて、共通接線が3本引かれています。
このとき、OO`とPQの交点をXとして、PX=XQ、PQ⊥OO`となる理由を教えてください。

回答No.1

tetra_o · ベストアンサー

直線TUとRSの交点をAとする。この時、TA=RA かつ UA=SA だから、これらを辺々引いて、 TU=RS ・・・ (1)
PT=PX=PUだから、 TU=2PX 同様に、 QR=QX=QSだから、 RS=2QX
これを(1)式に代入して、PX=XQ

また、△OTPに注目すると、三平方の定理より、OT^2+TP^2=OP^2
△ORQに注目すると、三平方の定理より、OR^2+RQ^2=OQ^2
OT=OR=円の半径、 TP=RQ より、 OP=OQ すなわち、△OPQは二等辺三角形であり、先に示したように、PX=XQ つまりXはPQの中点であるから、OXはPQを垂直に二等分する。よって、PQ⊥OO`

以上のようになります。

お礼

ありがとうございました

回答No.4

Tacosan

ああ, 確かに＞#3.

ということで三平方の定理を使わないバージョン:
#1 で与えられた点A を使うと △APQ は AP=AQ の二等辺三角形で直線OO' は ∠PAQ を二等分するから PQ⊥OO'.

お礼

ありがとうございました

回答No.3

tetra_o

>#2 Tacosanさん

私も最初はそう考えたのですが、「PQ は X を接点とする円O の接線」とは定義されておらず、「OO'とPQの交点をX」という定義になっていますので、そのようなアプローチは避けることにしました。ちなみに、#1の証明は、「PQ は ある点Y を接点とする円O の接線」としておいて、「X=Y」を示す、というイメージでアプローチを試みています。

まあ確かにTacosanの仰ることも正しいと思うんですけどね(笑)。簡単なこと、当たり前なことほど「これって証明になってるのかな!?」って思えてくるんですよねえ・・・・・・。

>tjagさん

ちなみにですが、こういった平面図形に関してよく出題されるケースは「センター試験必勝マニュアル数学1A」という参考書に纏まっています。もし平面図形がお苦手でしたら、一度ご覧になってみることをお勧めいたします。

お礼

ありがとうございました

回答No.2

Tacosan

あれ? 「△OTP に対して三平方の定理を使う」くらいなら, 何もせずとも PQ⊥OO' は出てきませんかね＞#1.

PQ は X を接点とする円O の接線なんだから....

お礼

ありがとうございました