- ベストアンサー
２つの円の交点を通る図形の求め方
- みんなの回答 （1）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
2つの円x^2+y^2+lx+my+n=0とx^2+y^2+px+qy+r=0があったとき，これらが(a,b)で外接するとすれば x^2+y^2+lx+my+n=x^2+y^2+px+qy+r はx，yの1次式となるので直線を表し，(x,y)=(a,b)を代入しても上式は成立するので点(a,b)をとおる。これが点(a,b)における接線でなければ，必ず点(a,b)以外で円上の点を通るはずだが，その点においては左辺か右辺が0と0以外の値をとり等号で結ばれることはない。したがって上式は点(a,b)における接線である。
関連するQ&A
- ２円の交点を通る円の方程式
こんばんは。現在高校で数IIを勉強しているものです。 このあいだ、中心(a,b)、半径rの円の方程式を[(x-a)^2+(y-b)^2=r^2]と表すことを習いました。 では、二つの円がありその２円の交点を通る円の方程式は...と考えると２つの円の方程式を連立させて方程式を解けばいいのかな、と思ったのですが.... よく考えると連立させて解くと２つ(または接する場合は１つ)の交点の座標が出てくる→x^2+y^2+lx+my+n=0に代入するという手順をとるとl,m,nの3元1次連立方程式となりますが、その方程式は2つしか出てこないはずなので連立方程式を解くことはできません。 これが2円の交点を通る直線だったら簡単なのですが、円だとどうやって解けばいいのでしょうか？ うろ覚えなのですが、2つの円 x^2+y^2+lx+my+nとx^2+y^2+ox+py+qの交点を通る円の方程式はkをパラメータとして x^2+y^2+lx+my+n+k(x^2+y^2+ox+py+q)=0 となるというのをどこかで見たことがあります。これは関係ないでしょうか？またこれが合っているとすると、なぜkをかけるのか、なぜ片方にだけかけるのか、といった点も教えていただければ幸いです。 ネットでいろいろ調べましたがそれらしいものは見つかりませんでした。お時間のあるときでかまいませんのでご回答よろしくお願いします(できれば高2でも理解できるようなレベルでお願いいたします)。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 2円の交点を通る図形
ｘ、ｙ平面上の2つの円C１：ｘの二乗+ｙの二乗＝25、Ｃ2：（ｘ-4）の二乗+（ｙ-3）の二乗＝2について、 (1)Ｃ１、Ｃ2の2つの交点を通る直線の方程式を求めよ。 (2)Ｃ1、Ｃ2の2つの交点を通り、点（3,1）を通る円の方程式を求めよ。 私の解答は （ｘの二乗+ｙの二乗-25）+ｋ（ｘの二乗+ｙの二乗-8ｘ-6ｙ+23）＝0 でも正解を見たら求める方程式は （ｘの二乗+ｙの二乗-8ｘ-6ｙ+23）+ｋ（ｘの二乗+ｙの二乗-25）＝0 でした。 どちらにｋをつけるのかということは重要ですか？
- 締切済み
- 数学・算数
- 円と直線の交点を通る円
次の問題について教えてください。 問題「円x^2+y^2=25と直線y=x+1の2つの交点と原点Ｏを通る円の方程式を求めよ。」 『チャートII＋Ｂ』（数研出版） 解答では k(x-y+1)+x^2+y^2-25=0 に(0,0)を代入するとk=25 よって、x^2+y^2+25x-25y=0 が求める方程式。 なのですが、 解説の「２曲線の交点を通る曲線の方程式」では、 f,gが円を表すとき、 kf+g=0 は k=-1のとき 2つの交点を通る直線 k=-1でないとき、2つの交点を通る円 を表す。 とあるので、これに沿って 求める円を x^2+y^2+ax+by+c=0 として k(x^2+y^2-25)+x^2+y^2+ax+by+c=0 とおき、 k=-1のときが交点を通る直線なので 2円 x^2+y^2=25、x^2+y^2+ax+by+c=0 の2つの交点を通る直線が y=x+1 つまり x-y+1=0 ・・・(1) となると考えました。 ところがこれでは -( x^2+y^2-25)+x^2+y^2+ax+by+c=0 ・・・(2) ax+by+c+25=0 だから(1)と係数を比較するとc=-24となります。 一方求める円は(0,0)を通るから(2)に代入するとc=-25となります。 いずれも答えになりません。 これはどういうことなのでしょうか？ 何が間違っていたのかわかりやすく解説ください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 二つの円の交点を通る円の方程式について。十分性の
ｘ＾２＋y＾2＋６ｘ＋８ｙ＋２１＝０ と、x＾2＋y＾2－１６＝０の交点を通る円について考えます。 ｘ＾２＋y＾2＋６ｘ＋８ｙ＋２１＋ｋ（x＾2＋y＾2－１６）＝０ ただしｋ≠－１ となるわけですが、 交点の座標は二つの円の方程式を同時に満たしますから、 交点においては、上の方程式が成り立つのはわかるのですが、 すると上の方程式は円の方程式を表します。 ここまではわかるのですが、 上の方程式を変形して、 ｘ＾２＋y＾2＋{６/k＋１}ｘ＋{８/k＋１}ｙ＋{２１－１６k/k＋１}＝０ これがもし交点を通るならば上の方程式は成り立つのはわかるのですが、 ※なぜなら、交点は変形前の方程式を満たしますから、当然それを同値変形した方程式も成り立つから。 で、ここで必要条件が得られたことになります。 問題は、これがどうして交点を通る円といえるのかです。つまり十分条件をどうして言えるのか。です。 また、ｋ＝－１のとき直線ですが、これはよいとしまして、 ｘ＾２＋y＾2＋{６/k＋１}ｘ＋{８/k＋１}ｙ＋{２１－１６k/k＋１}＝０が交点を通るすべての円を表しているとどうして言えるのか。ということがなんとなくわかりません。 {６/k＋１}、{８/k＋１}、{２１－１６k/k＋１}について考えますと、 ｋは実数ですから、例えば{６/k＋１}なんかは０以外のすべての実数をあらわしているのか。 また、{２１－１６k/k＋１}なんかはｋが１６分の２１のときには０ですから、すべての実数を表すことができるのでしょうか。 ややこしい質問ですいません。わかる人宜しくお願いいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 2円の交点を通る直線とか円
2円の交点を通る直線とか円を求めるとき 確かkf(x1y1)＋g(x2y2)＝0って感じだったと思うんですけど どうしてkを使うんですか? しかも一つの円だけにkをかける意味がわかりません。 どっちの円にかけてもいいんですか? うろ覚えなのですが K＝－1になったら円で k≠－1になったら直線 とかいうのもあった気がして、もっと混乱してます。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 図形と式
****************************************************************** 円(x-3)^2+(y-4)^2=4とy=x+3について、次の問に答える “→”で書いているのは、私が思うところ・・・です。 １．円と直線の交点の座標を求めよ。 →これは、片方の式をもう一方の式に代入するのでしょうか？ ２．円が直線から切り取る線分の長さ、（２交点間の距離）を求めよ ３．（２．）の線分を直径とする円の方程式を求めよ。 ****************************************************************** つぎの２次曲線の接線のうち、点（０，３）を通るモノと、 そのときの接線を求めよ。 １．x^2+y^2=5 ２．x^2/2+y^2/3=1 ３．y^2=2x ****************************************************************** 解説のほう、読ませていただきまして、その問題、次の問題と取り組んでいきたいと思っています。よろしくお願いいたします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 数II基礎～円の方程式～
円の方程式ｘ＾２＋ｙ＾２＋ｌｘ＋ｍｙ＋ｎ＝0の、ｘ＾２＋ｙ＾２がない方程式、即ち方程式ｌｘ＋ｍｙ＋ｎ＝0は必ず直線をあらわすけれど、ｘ＾２＋ｙ＾２のうちいずれか一方がない式は絶対円の方程式、つまりｘ＾２＋ｌｘ＋ｍｙ＋ｎ＝0やｙ＾２＋ｌｘ＋ｍｙ＋ｎ＝0は円を絶対表さないんですか？ 回答お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 平面図形と円の方程式の質問
2個質問あります。 (1)平面図形について 問題：2点で交わる２つの円の好転の１つＡを通る直線を引き、２円との好転をＢ，Ｃとし、Ｂ，Ｃにおける接線の交点をＰとする。このとき、∠ＢＰＣはつねに大きさが一定であることを証明せよ。 疑問：どこまでがそのまま答えていい固定値ですか?? (2)円の方程式について 問題：点(-1,1)から円x^2+y^2-4x+2y+1=0に引いた接線の方程式を求めよ 疑問： 僕の解答の進め方は・・ 円の方程式は変形すると(x-2)^2+(y+1)^2=4 とおけますよね。接点を(p,q)とおいて 接線の公式を用いて px+qy=4とすると接線は(-1,1)を通るから -p+q=4・・・・(1) となりますよね。 また接点(p,q)は円周上の点だから (p-2)^2+(q+1)^2=4・・・・(2) となりますよね。 そんな感じで、(1)、(2)からqを消去すれば 2p^2-14p+25=0となりますよね。 これを解くとpの値はどうしても虚数になってしまいます・・。 計算ミスに関しては何度も見直したから大丈夫なハズなんですが。 計算ミスでしょうか?それとも未知数のおき方とか関連づけが根本的にどこかで間違ってるんでしょうか。 ちなみに設問の答えは y=1 または y=-12/5x-7/5 です。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
ありがとうございました。解決しました。